べき集合とは？
集合 S のべき集合（記号では \(\mathcal{P}(S)\)）とは、S のあらゆる部分集合をすべて集めた集合のことです。空集合 ∅ から S そのものまで、考えられる部分集合がもれなく含まれます。たとえば {a, b} のべき集合は { {}, {a}, {b}, {a, b} } となります。このべき集合計算ツールは、集合が持つ部分集合の個数を数え、要素数の少ない集合についてはそのすべてを一覧表示します。
公式のしくみ
集合 S に互いに異なる要素が \(n\) 個あるとき（濃度 \(|S| = n\)）、部分集合の個数はちょうど \(2^{n}\) になります。
$$\left| \mathcal{P}(S) \right| = 2^{n}, \quad n = \left| \text{Distinct Elements} \right|$$理由はシンプルです。各要素について「部分集合に入れる／入れない」という独立した2択を行うと考えると、\(n\) 回の独立した二者択一によって \(2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^{n}\) 通りの組み合わせが生まれ、その一つひとつが部分集合に対応するからです。
使い方
集合の要素をカンマ区切りで入力してください（例：1, 2, 3 や red, green, blue）。集合には互いに異なる要素しか含まれないため、重複した入力は自動的に無視されます。続いて、部分集合の一覧を表示するかどうかを選びます。なお一覧表示は要素数12個以下の集合に限られます。\(2^{13}\) はすでに8,000を超える部分集合になってしまうためです。
具体例
S = {a, b, c} とすると \(n = 3\) です。部分集合の個数は \(2^{3} = 8\) となり、その内訳は {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} の8つです。空集合と集合そのものの両方が含まれている点に注目してください。これこそが「べき（power）集合」と呼ばれる理由です。
よくある質問
空集合は必ず含まれますか？ はい。どんなべき集合にも、空集合 ∅ と元の集合 S そのものが必ず含まれます。
空集合のべき集合は何ですか？ 要素を \(2^{0} = 1\) 個だけ持ち、その中身は { {} }、つまり空集合だけを要素とする集合です。
大きな集合では部分集合の一覧が表示されないのはなぜですか？ 要素数20の集合には100万を超える部分集合があり、すべて表示するのは現実的ではありません。ただし個数（\(2^{n}\)）はサイズに関係なく常に表示されます。
