¿Qué es un conjunto potencia?
El conjunto potencia de un conjunto S, que se escribe P(S), es el conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de S: desde el conjunto vacío ∅ hasta el propio S. Por ejemplo, el conjunto potencia de {a, b} es { {}, {a}, {b}, {a, b} }. Esta calculadora de conjunto potencia cuenta cuántos subconjuntos tiene un conjunto y, para conjuntos pequeños, los enumera todos uno por uno.
La fórmula explicada
Si un conjunto S tiene n elementos distintos (su cardinalidad \(|S| = n\)), entonces el número de subconjuntos es exactamente \(2^{n}\). El razonamiento es sencillo: para cada elemento tomas una decisión binaria independiente —lo incluyes en el subconjunto o lo dejas fuera—. Con n decisiones independientes de tipo sí/no, obtienes
$$2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^{n}$$combinaciones distintas, y cada combinación es un subconjunto. En general:
$$\left| \mathcal{P}(S) \right| = 2^{n}, \quad n = \left| \text{Distinct Elements} \right|$$
Cómo usar la calculadora
Escribe los elementos de tu conjunto separados por comas (por ejemplo 1, 2, 3 o rojo, verde, azul). Los elementos repetidos se ignoran de forma automática, ya que un conjunto solo contiene elementos distintos. Elige si quieres ver la lista completa de subconjuntos: la enumeración solo se muestra para conjuntos de 12 elementos o menos, pues \(2^{13}\) ya supera los 8.000 subconjuntos.
Ejemplo resuelto
Tomemos S = {a, b, c}, así que \(n = 3\). El número de subconjuntos es
$$2^{3} = 8$$Son: {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} y {a, b, c}. Fíjate en que tanto el conjunto vacío como el conjunto completo están incluidos: eso es precisamente lo que lo convierte en un conjunto potencia.
Preguntas frecuentes
¿El conjunto vacío siempre está incluido? Sí. Todo conjunto potencia contiene el conjunto vacío ∅ y también el conjunto original S.
¿Cuál es el conjunto potencia del conjunto vacío? Tiene \(2^{0} = 1\) elemento, que es { {} }: un conjunto que contiene únicamente al conjunto vacío.
¿Por qué no enumera los subconjuntos de conjuntos grandes? Un conjunto de 20 elementos tiene más de un millón de subconjuntos, algo poco práctico de mostrar. El recuento (\(2^{n}\)) siempre aparece, sea cual sea el tamaño.
