¿Qué es el número de Stirling de primera especie?
Los números de Stirling de primera especie con signo, que se escriben \(s(n,k)\), son los coeficientes que aparecen al desarrollar el factorial descendente \(x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\) en potencias ordinarias de \(x\). Sus valores absolutos, \(c(n,k) = |s(n,k)|\), cuentan cuántas permutaciones de \(n\) elementos se descomponen en exactamente \(k\) ciclos disjuntos. Ambos están relacionados por la regla de signos \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\). Esta calculadora devuelve el valor con signo, conforme al convenio de los coeficientes del factorial descendente.
Cómo usarla
Introduce dos enteros no negativos: \(n\) (el parámetro de tamaño) y \(k\) (el número de ciclos o, de forma equivalente, el índice de la potencia). Pulsa calcular y la herramienta te devuelve \(s(n,k)\). Si \(k\) es mayor que \(n\), el resultado es 0; \(s(n,n)\) siempre vale 1; y \(s(0,0)\) es 1 por definición.
La fórmula explicada
Construimos una pequeña tabla de programación dinámica mediante la recurrencia $$s(n+1,k) = s(n,k-1) - n\,s(n,k)$$ partiendo de \(s(0,0)=1\), con \(s(n,0)=0\) para \(n>0\) y \(s(0,k)=0\) para \(k>0\). Cada fila se calcula a partir de la anterior, así que no hace falta almacenar una tabla grande. El término negativo de la recurrencia es justamente el que genera los signos alternados.
Ejemplo resuelto
Calculemos \(s(5,2)\). Los recuentos de ciclos sin signo de la fila 5 son \(c(5,1)=24\), \(c(5,2)=50\), \(c(5,3)=35\), \(c(5,4)=10\), \(c(5,5)=1\). El signo es \((-1)^{5-2} = -1\), de modo que \(s(5,2) = -50\). Comprobación: $$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 24x$$ y el coeficiente de \(x^2\) es, en efecto, \(-50\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué puede salir negativo el resultado? Porque se trata de la versión con signo; el coeficiente de \(x^k\) en el factorial descendente alterna su signo según \((-1)^{n-k}\).
¿Cómo obtengo el recuento de ciclos sin signo? Toma el valor absoluto: \(c(n,k) = |s(n,k)|\).
¿Cuánto suman los valores sin signo de toda una fila? La suma de \(c(n,k)\) para todos los \(k\) es igual a \(n!\) (\(n\) factorial).
