¿Qué son las funciones de Kelvin de primera especie?
Las funciones de Kelvin de primera especie, denotadas berv(x) y beiv(x), son las partes real e imaginaria de la función de Bessel Jv evaluada en un argumento girado en fase: \(\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = J_v(x\cdot e^{i3\pi/4})\). Aparecen en problemas con simetría cilíndrica y campos oscilantes, de forma clásica en el análisis del efecto pelicular (skin effect) en conductores eléctricos y en problemas de conducción de calor y elasticidad. Esta calculadora devuelve berv(x), beiv(x) y sus primeras derivadas ber'v(x) y bei'v(x) para cualquier orden real v y argumento real x.
Cómo usar la calculadora
Introduce el orden v (cualquier número real; v = 0 es el caso más habitual) y el argumento x (un número real). Pulsa calcular. El recuadro principal muestra berv(x), y la tabla recoge beiv(x) y ambas derivadas. La serie converge con rapidez para x de hasta aproximadamente 20; con valores de x muy grandes la cancelación numérica reduce la precisión y sería preferible recurrir a un desarrollo asintótico.
La fórmula explicada
Las funciones se calculan a partir de la serie de potencias compleja convergente mostrada arriba,
$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$donde Γ es la función gamma (evaluada aquí mediante una aproximación de Lanczos). Los términos se acumulan con la recurrencia \(\text{term}_k = \text{term}_{k-1}\cdot(i x^2/4) / [k(v+k)]\), empleando dos acumuladores reales para las partes real e imaginaria. Las derivadas usan la relación exacta \(\mathrm{ber}'_v = (\mathrm{ber}_{v+1}+\mathrm{bei}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{ber}_v\) y \(\mathrm{bei}'_v = (\mathrm{bei}_{v+1}-\mathrm{ber}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{bei}_v\), de modo que las funciones del orden siguiente también se evalúan con la misma definición.
Ejemplo resuelto (v = 0, x = 1)
Para v = 0 las series se reducen a
$$\mathrm{ber}_0(x) = \sum (-1)^{k}\frac{(x/2)^{4k}}{[(2k)!]^{2}}$$$$\mathrm{bei}_0(x) = \sum (-1)^{k}\frac{(x/2)^{4k+2}}{[(2k+1)!]^{2}}$$En x = 1 esto da \(\mathrm{ber}_0(1) \approx 0{,}984382\) y \(\mathrm{bei}_0(1) \approx 0{,}249566\), coincidiendo con las tablas estándar (Abramowitz y Stegun 9.9).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el rango válido de x? La implementación en serie es fiable aproximadamente para \(0 \le x \le 20\). Más allá de ese valor, la cancelación en coma flotante degrada la precisión.
¿Qué ocurre en x = 0? Para v = 0, \(\mathrm{ber}_0(0) = 1\) y \(\mathrm{bei}_0(0) = 0\), con ambas derivadas iguales a 0. Para v > 0 las funciones tienden a 0; para v < 0 pueden divergir.
¿Puedo usar un orden no entero? Sí. Se admite cualquier v real siempre que v+1 no sea un entero negativo (un polo de la función gamma).
