Que sont les fonctions de Kelvin de première espèce ?
Les fonctions de Kelvin de première espèce, notées berv(x) et beiv(x), correspondent respectivement aux parties réelle et imaginaire de la fonction de Bessel Jv évaluée sur un argument soumis à une rotation de phase : \(\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = J_v(x\,e^{i3\pi/4})\). On les rencontre dans les problèmes présentant une symétrie cylindrique associée à des champs oscillants, en particulier dans l'étude classique de l'effet de peau dans les conducteurs électriques, ainsi qu'en conduction thermique et en élasticité. Ce calculateur fournit berv(x), beiv(x) et leurs dérivées premières ber'v(x) et bei'v(x) pour n'importe quel ordre réel v et argument réel x.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez l'ordre v (un nombre réel quelconque ; v = 0 étant le cas le plus courant) et l'argument x (un nombre réel). Lancez le calcul. L'encadré principal affiche berv(x), tandis que le tableau présente beiv(x) ainsi que les deux dérivées. La série converge rapidement pour x jusqu'à environ 20 ; au-delà, les compensations numériques dégradent la précision et un développement asymptotique serait préférable.
La formule expliquée
Les fonctions sont calculées à partir de la série entière complexe convergente présentée plus haut, où Γ désigne la fonction gamma (évaluée ici grâce à une approximation de Lanczos) :
$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$Les termes sont cumulés à l'aide de la relation de récurrence \(\text{terme}_k = \text{terme}_{k-1}\cdot(i x^2/4) / [k(v+k)]\), en utilisant deux accumulateurs réels pour les parties réelle et imaginaire. Les dérivées reposent sur les relations exactes \(\mathrm{ber}'_v = (\mathrm{ber}_{v+1}+\mathrm{bei}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{ber}_v\) et \(\mathrm{bei}'_v = (\mathrm{bei}_{v+1}-\mathrm{ber}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{bei}_v\) ; les fonctions d'ordre supérieur sont donc elles aussi évaluées selon la même définition.
Exemple résolu (v = 0, x = 1)
Pour v = 0, les séries se simplifient en \(\mathrm{ber}_0(x) = \sum(-1)^k(x/2)^{4k}/[(2k)!]^2\) et \(\mathrm{bei}_0(x) = \sum(-1)^k(x/2)^{4k+2}/[(2k+1)!]^2\). En x = 1, on obtient \(\mathrm{ber}_0(1) \approx 0{,}984382\) et \(\mathrm{bei}_0(1) \approx 0{,}249566\), ce qui concorde avec les tables de référence (Abramowitz & Stegun 9.9).
FAQ
Quel est l'intervalle de validité de x ? L'implémentation par série est fiable pour environ \(0 \le x \le 20\). Au-delà, les compensations en virgule flottante détériorent la précision.
Que se passe-t-il en x = 0 ? Pour v = 0, on a \(\mathrm{ber}_0(0) = 1\) et \(\mathrm{bei}_0(0) = 0\), les deux dérivées valant 0. Pour v > 0, les fonctions tendent vers 0 ; pour v < 0, elles peuvent diverger.
Puis-je utiliser un ordre non entier ? Oui. Tout ordre réel v est accepté, à condition que v+1 ne soit pas un entier négatif (pôle de la fonction gamma).
