Ce que fait ce calculateur
Cet outil construit une table (ainsi qu'une courbe) des dérivées premières des fonctions de Kelvin de première espèce, notées \(\operatorname{ber}_v'(x)\) et \(\operatorname{bei}_v'(x)\), sur une plage de \(x\) et pour tout ordre réel \(v\). Les fonctions de Kelvin interviennent en génie électrique (effet de peau dans les conducteurs), en conduction thermique et dans l'analyse des écoulements visqueux oscillants. Leurs dérivées apparaissent dès lors que l'on dérive des profils de champ ou de densité de courant décrits par des fonctions de Kelvin.
Comment l'utiliser
Saisissez l'ordre \(v\) (par défaut 0), la valeur initiale de \(x\), l'incrément entre deux valeurs successives de \(x\) et le nombre de répétitions (lignes). Le calculateur génère les valeurs \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) pour \(i = 0, 1, \ldots, \text{count}-1\), évalue les deux dérivées en chaque point, puis affiche une table défilante accompagnée d'un graphique comparant les deux courbes.
La formule expliquée
Les fonctions de Kelvin sont définies par $$\operatorname{ber}_v(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v(x) = J_v\!\left(x\cdot e^{3\pi i/4}\right).$$ En posant \(z = x\cdot e^{3\pi i/4}\) et en utilisant l'identité de dérivation de Bessel \(J_v'(z) = \tfrac{1}{2}\left(J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right)\) avec la règle de dérivation en chaîne (\(dz/dx = e^{3\pi i/4}\)), on obtient $$\operatorname{ber}_v'(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v'(x) = e^{3\pi i/4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right].$$ La partie réelle correspond à \(\operatorname{ber}_v'(x)\) ; la partie imaginaire à \(\operatorname{bei}_v'(x)\). Les valeurs de Bessel sont calculées en sommant la série entière en arithmétique complexe, chaque terme étant obtenu à partir du précédent par le rapport $$t_{m+1} = t_m\cdot\frac{-(z/2)^2}{(m+1)(v+m+1)},$$ gage de stabilité.
Exemple concret
Pour \(v = 0\) et \(x = 1\), la série réelle donne \(\operatorname{ber}_0'(1) \approx -0{,}06245\) et \(\operatorname{bei}_0'(1) \approx 0{,}49740\). En \(x = 0\), les deux dérivées valent \(0\) pour \(v = 0\).
FAQ
Gère-t-il les valeurs négatives de \(x\) ? Oui. La série de Bessel complexe est utilisée, de sorte que la plage par défaut débutant à \(x = -10\) est entièrement prise en charge.
Quels ordres \(v\) sont autorisés ? Tout nombre réel, y compris les ordres non entiers et négatifs, évalués à l'aide d'une approximation de la fonction gamma de Lanczos.
Quelle est sa précision pour les grands \(|x|\) ? La série directe est fiable sur environ \(x \in [-20, 20]\) ; au-delà, les compensations au sein de la série peuvent dégrader la précision.
