Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент строит таблицу (и линейный график) первых производных функций Кельвина первого рода — их обозначают \(\operatorname{ber}_v'(x)\) и \(\operatorname{bei}_v'(x)\) — на заданном диапазоне \(x\) для любого вещественного порядка \(v\). Функции Кельвина встречаются в электротехнике (скин-эффект в проводниках), в задачах теплопроводности и при анализе колебательного течения вязкой жидкости. Их производные возникают всякий раз, когда нужно продифференцировать профили поля или плотности тока, описываемые функциями Кельвина.
Как пользоваться
Укажите порядок \(v\) (по умолчанию 0), начальное значение \(x\), шаг между соседними значениями \(x\) и число повторений (то есть количество строк). Калькулятор формирует значения \(x\) по правилу \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) для \(i = 0, 1, \dots, \text{count}-1\), вычисляет обе производные в каждой точке и выводит прокручиваемую таблицу вместе со сравнительным графиком двух кривых.
Разбор формулы
Функции Кельвина задаются соотношением $$\operatorname{ber}_v(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v(x) = J_v\!\left(x\cdot e^{3\pi i/4}\right).$$ Обозначив \(z = x\cdot e^{3\pi i/4}\) и воспользовавшись тождеством для производной функции Бесселя \(J_v'(z) = \tfrac{1}{2}(J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z))\) вместе с правилом дифференцирования сложной функции (\(dz/dx = e^{3\pi i/4}\)), получаем $$\operatorname{ber}_v'(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v'(x) = e^{3\pi i/4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\left[J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right].$$ Действительная часть даёт \(\operatorname{ber}_v'(x)\), мнимая — \(\operatorname{bei}_v'(x)\). Значения функций Бесселя вычисляются суммированием степенного ряда в комплексной арифметике, причём каждый следующий член получается из предыдущего по соотношению $$t_{m+1} = t_m\cdot\frac{-(z/2)^2}{(m+1)(v+m+1)}$$ — это обеспечивает устойчивость расчёта.
Разбор примера
При \(v = 0\) и \(x = 1\) ряд для действительной части даёт \(\operatorname{ber}_0'(1) \approx -0{,}06245\), а \(\operatorname{bei}_0'(1) \approx 0{,}49740\). В точке \(x = 0\) обе производные при \(v = 0\) равны нулю.
Частые вопросы
Работает ли калькулятор с отрицательными \(x\)? Да. Используется комплексный ряд Бесселя, поэтому диапазон по умолчанию, начинающийся с \(x = -10\), полностью поддерживается.
Какие порядки \(v\) допустимы? Любое вещественное число, включая нецелые и отрицательные порядки; для них применяется приближение гамма-функции по Ланцошу.
Насколько точны вычисления при больших \(|x|\)? Прямое суммирование ряда надёжно примерно на интервале \(x \in [-20, 20]\). За его пределами взаимное сокращение членов ряда может снизить точность.
