ماذا تفعل هذه الحاسبة
تبني هذه الأداة جدولاً (مع رسم بياني خطي) للمشتقات الأولى لدوال كلفن من النوع الأول، والتي تُكتب \(\operatorname{ber}_v'(x)\) و\(\operatorname{bei}_v'(x)\)، على امتداد نطاق من x ولأي رتبة حقيقية v. تظهر دوال كلفن في الهندسة الكهربائية (الأثر السطحي في الموصلات)، وفي انتقال الحرارة، وفي تحليل الجريان اللزج المتذبذب. أما مشتقاتها فتظهر كلما اشتُقَّت توزيعات المجال أو كثافة التيار الموصوفة بدوال كلفن.
طريقة الاستخدام
أدخل الرتبة v (القيمة الافتراضية 0)، والقيمة الابتدائية لـ x، والمقدار الفاصل بين كل قيمة وأخرى، وعدد التكرارات (عدد الصفوف). تولّد الحاسبة قيم x وفق العلاقة \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) من أجل \(i = 0, 1, \dots, \text{count}-1\)، ثم تحسب كلتا المشتقتين عند كل نقطة، وتعرض جدولاً قابلاً للتمرير إلى جانب رسم بياني يقارن المنحنيين.
شرح الصيغة
تُعرَّف دوال كلفن بالعلاقة $$\operatorname{ber}_v(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v(x) = J_v\!\left(x\,e^{3\pi i/4}\right)$$ وبوضع \(z = x\,e^{3\pi i/4}\) واستخدام متطابقة مشتقة دالة بِسِل \(J_v'(z) = \tfrac{1}{2}\left(J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right)\) مع قاعدة السلسلة (\(dz/dx = e^{3\pi i/4}\))، نحصل على $$\operatorname{ber}_v'(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v'(x) = e^{3\pi i/4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\left[J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right]$$ الجزء الحقيقي هو \(\operatorname{ber}_v'(x)\)، والجزء التخيّلي هو \(\operatorname{bei}_v'(x)\). تُحسب قيم بِسِل بجمع المتسلسلة الأسّية في الحساب المركّب، مع التقدّم في كل حدّ وفق النسبة $$t_{m+1} = t_m\cdot\frac{-(z/2)^2}{(m+1)(v+m+1)}$$ من أجل الاستقرار العددي.
مثال محلول
عند \(v = 0\) و\(x = 1\)، تعطي المتسلسلة الحقيقية \(\operatorname{ber}_0'(1) \approx -0.06245\) و\(\operatorname{bei}_0'(1) \approx 0.49740\). وعند \(x = 0\) تكون كلتا المشتقتين مساويتين للصفر من أجل \(v = 0\).
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل مع قيم x السالبة؟ نعم. تُستخدَم متسلسلة بِسِل المركّبة، لذا فإن النطاق الافتراضي الذي يبدأ من \(x = -10\) مدعوم بالكامل.
ما الرتب v المسموح بها؟ أي عدد حقيقي، بما في ذلك الرتب غير الصحيحة والسالبة، وتُقيَّم باستخدام تقريب لانكزوس لدالة غاما.
ما مدى دقتها عند القيم الكبيرة لـ |x|؟ المتسلسلة المباشرة موثوقة تقريباً في المجال \(x \in [-20, 20]\)؛ وأبعد من ذلك قد يقلّل التلاشي في المتسلسلة من الدقة.
