ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة المشتقة الأولى للدالة السينية اللوجستية مع معامل الكسب (شدة الانحدار) a، مقدَّرةً عند نقطة x. تُعدّ الدالة السينية من أكثر دوال التنشيط شيوعًا في الشبكات العصبية والانحدار اللوجستي، ومشتقتها هي بالضبط ما تحتاجه خوارزمية الانتشار العكسي (backpropagation) لتحديث الأوزان. وكميزة إضافية، تُرجِع الحاسبة أيضًا قيمة الدالة السينية نفسها والمشتقة الثانية عند النقطة ذاتها.
طريقة الاستخدام
أدخل معامل الكسب a (القيمة الافتراضية 1) ونقطة التقييم x (القيمة الافتراضية 0.5). كلاهما عددان حقيقيان مجرّدان بلا أبعاد ولا وحدات قياس. اضغط على زر الحساب لتقرأ المشتقة الأولى كنتيجة رئيسية، مع ظهور قيمة الدالة السينية والمشتقة الثانية أسفلها.
شرح المعادلة
تُعطى الدالة السينية بالصيغة \(s_a(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-a x}}\). ومن خصائصها العملية أنه يمكن كتابة مشتقتها بالكامل بدلالة مخرجاتها ذاتها:
$$s'_a(x) = a \cdot s_a(x) \cdot \bigl(1 - s_a(x)\bigr)$$أما المشتقة الثانية فتأتي على الصورة
$$s''_a(x) = a^2 \cdot s_a(x) \cdot \bigl(1 - s_a(x)\bigr) \cdot \bigl(1 - 2 s_a(x)\bigr)$$وبما أن المقدار \(1 + e^{-a x}\) موجب دائمًا، فإن الدالة معرَّفة لكل قيمة حقيقية لـa ولـx — فلا وجود لقسمة على صفر.
مثال محلول
عند \(a = 1\) و\(x = 0.5\): يكون \(a \cdot x = 0.5\)، ومن ثَمّ \(e^{-0.5} \approx 0.60653\) وتكون \(s = \dfrac{1}{1.60653} \approx 0.622459\). ثم \(s' = 1 \cdot 0.622459 \cdot (1 - 0.622459) \approx 0.235004\)، وأخيرًا \(s'' = 0.235004 \cdot (1 - 2 \cdot 0.622459) \approx -0.057557\).
الأسئلة الشائعة
أين تبلغ المشتقة قيمتها العظمى؟ عندما يكون \(a > 0\)، يبلغ الميل ذروته عند \(x = 0\)، حيث تكون \(s = 0.5\) وتساوي المشتقة \(a/4\).
ماذا يحدث عندما \(a = 0\)؟ تنهار الدالة السينية إلى الثابت \(0.5\)، فتصبح كلٌّ من المشتقة الأولى والثانية مساويةً للصفر.
ما فائدة معامل الكسب؟ كلما زادت القيمة المطلقة \(|a|\)، أصبح الانتقال أكثر حِدّة (أقرب إلى دالة الخطوة)؛ وكلما صغرت، أصبح أكثر تدرّجًا. أما القيمة السالبة لـa فتقلب المنحنى.
