यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल गेन (खड़ीपन) पैरामीटर a वाले लॉजिस्टिक सिग्मॉइड फ़ंक्शन का प्रथम अवकलज किसी बिंदु x पर निकालता है। सिग्मॉइड न्यूरल नेटवर्क और लॉजिस्टिक रिग्रेशन में सबसे आम एक्टिवेशन फ़ंक्शनों में से एक है, और इसका अवकलज ठीक वही चीज़ है जिसकी ज़रूरत बैकप्रोपेगेशन को वेट्स अपडेट करने के लिए होती है। बोनस के तौर पर, यह कैलकुलेटर उसी बिंदु पर सिग्मॉइड का मान और द्वितीय अवकलज भी दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
गेन a (डिफ़ॉल्ट 1) और जिस बिंदु पर गणना करनी है वह x (डिफ़ॉल्ट 0.5) दर्ज करें। दोनों शुद्ध, इकाई-रहित (आयाम-रहित) वास्तविक संख्याएँ हैं जिनकी कोई यूनिट नहीं होती। गणना करें दबाएँ और मुख्य परिणाम के रूप में प्रथम अवकलज देखें, जबकि नीचे सिग्मॉइड का मान और द्वितीय अवकलज दिखाई देंगे।
सूत्र की व्याख्या
सिग्मॉइड है $$s_a(x) = \frac{1}{1 + e^{-a x}}$$ इसकी एक ख़ास और उपयोगी विशेषता यह है कि इसका अवकलज पूरी तरह से इसके अपने आउटपुट के रूप में लिखा जा सकता है: $$s'_a(x) = a \cdot s_a(x) \cdot \bigl(1 - s_a(x)\bigr)$$ इसी से द्वितीय अवकलज बनता है: $$s''_a(x) = a^2 \cdot s_a(x) \cdot \bigl(1 - s_a(x)\bigr) \cdot \bigl(1 - 2 s_a(x)\bigr)$$ चूँकि \(1 + e^{-a x}\) हमेशा धनात्मक रहता है, इसलिए यह फ़ंक्शन हर वास्तविक a और x के लिए परिभाषित है — यहाँ शून्य से भाग देने की कोई समस्या नहीं आती।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(a = 1\) और \(x = 0.5\): तब \(a \cdot x = 0.5\), इसलिए \(e^{-0.5} \approx 0.60653\) और $$s = \frac{1}{1.60653} \approx 0.622459$$ फिर $$s' = 1 \cdot 0.622459 \cdot (1 - 0.622459) \approx 0.235004$$ और $$s'' = 0.235004 \cdot (1 - 2 \cdot 0.622459) \approx -0.057557$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अवकलज अपने अधिकतम मान तक कहाँ पहुँचता है? जब \(a > 0\) हो, तो ढलान \(x = 0\) पर सबसे ज़्यादा होती है, जहाँ \(s = 0.5\) होता है और अवकलज का मान \(a/4\) के बराबर होता है।
जब \(a = 0\) हो तो क्या होता है? तब सिग्मॉइड सिकुड़कर स्थिर मान 0.5 बन जाता है, इसलिए प्रथम और द्वितीय दोनों अवकलज 0 हो जाते हैं।
गेन पैरामीटर का इस्तेमाल क्यों करें? \(|a|\) जितना बड़ा होगा, बदलाव उतना ही तीव्र होगा (स्टेप फ़ंक्शन के क़रीब); \(|a|\) जितना छोटा होगा, बदलाव उतना ही धीमा और मुलायम होगा। ऋणात्मक a कर्व को उलट देता है।
