यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी भी वास्तविक इनपुट x पर hyperbolic tangent फ़ंक्शन tanh(x) की गणना करता है और, इससे भी ज़रूरी बात, इसका प्रथम अवकलज (first derivative) tanh'(x) निकालता है। साथ ही यह द्वितीय अवकलज tanh''(x) भी बताता है। Hyperbolic tangent एक स्मूद, S-आकार वाला (sigmoidal) फ़ंक्शन है जिसका आउटपुट हमेशा -1 और 1 के बीच सीमित रहता है — यही वजह है कि यह न्यूरल नेटवर्क के activation function के रूप में और फ़िज़िक्स व इंजीनियरिंग मॉडल्स में इतनी बार दिखाई देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
x के लिए कोई भी वास्तविक संख्या दर्ज करें और सबमिट करें। कैलकुलेटर पहले \(\tanh(x)\) की एक बार गणना करता है, फिर उसी एक मान से प्रथम और द्वितीय दोनों अवकलज निकाल लेता है। यहाँ कोई इकाई (unit) बदलने की ज़रूरत नहीं है: x एक dimensionless वास्तविक संख्या है, और सभी आउटपुट भी dimensionless ही होते हैं।
फ़ॉर्मूला समझें
Hyperbolic tangent है $$\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$ इसके प्रथम अवकलज का बेहद सुंदर सरल रूप है $$f'(x) = 1 - \tanh^{2}\!\left(x\right)$$ या समान रूप से \(\operatorname{sech}^2(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}\)। चूँकि \(\tanh(x)\) हमेशा \((-1, 1)\) के बीच रहता है, इसलिए प्रथम अवकलज हमेशा \((0, 1]\) के बीच रहता है और \(x = 0\) पर अधिकतम होता है, जहाँ ढलान (slope) ठीक 1 होती है। द्वितीय अवकलज $$f''(x) = -2\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$ है, जो एक विषम (odd) फ़ंक्शन है और \(x = 0\) पर शून्य से होकर गुज़रता है।
हल किया हुआ उदाहरण (x = 0.5)
$$\tanh(0.5) = \frac{1.6487212707 - 0.6065306597}{1.6487212707 + 0.6065306597} = 0.4621171573$$ फिर $$f'(0.5) = 1 - 0.4621171573^2 = 0.7864477541$$ और $$f''(0.5) = -2 \times 0.4621171573 \times 0.7864477541 = -0.7269278407$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
बड़े x पर gradient क्यों लुप्त (vanish) हो जाता है? जैसे-जैसे x बढ़ता है, tanh +/-1 की ओर संतृप्त (saturate) हो जाता है, इसलिए \(1 - \tanh^2\) शून्य के करीब पहुँच जाता है। यह "vanishing gradient" गहरे (deep) नेटवर्क की ट्रेनिंग को धीमा कर सकता है।
क्या अवकलज कभी ऋणात्मक होता है? नहीं। \(f'(x) = \operatorname{sech}^2(x)\) हर वास्तविक x के लिए सख़्ती से धनात्मक है, इसलिए tanh हमेशा बढ़ता रहता है।
क्या divide-by-zero का कोई ख़तरा है? नहीं। हर वास्तविक x के लिए \(\cosh(x)\) कम से कम 1 होता है, इसलिए \(\operatorname{sech}^2(x)\) हमेशा अच्छी तरह परिभाषित रहता है।
