Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa la función tangente hiperbólica tanh(x) y, sobre todo, su primera derivada tanh'(x) para cualquier valor real de x. Además, te muestra la segunda derivada tanh''(x). La tangente hiperbólica es una función suave con forma de S (sigmoidal) cuya salida queda acotada entre -1 y 1; por eso aparece con tanta frecuencia como función de activación en redes neuronales y en modelos de física e ingeniería.
Cómo usarla
Introduce cualquier número real en \(x\) y pulsa calcular. La calculadora obtiene tanh(x) una sola vez y, a partir de ese único valor, deriva tanto la primera como la segunda derivada. No hay unidades que convertir: \(x\) es un número real adimensional y todos los resultados también lo son.
La fórmula explicada
La tangente hiperbólica se define como $$\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.$$ Su primera derivada tiene una forma cerrada muy elegante: $$f'(x) = 1 - \tanh^{2}\!\left(x\right),$$ equivalente a \(\operatorname{sech}^2(x) = \frac{1}{\cosh(x)^2}\). Como tanh(x) está dentro del intervalo \((-1, 1)\), la primera derivada siempre cae en \((0, 1]\), y alcanza su máximo en \(x = 0\), donde la pendiente vale exactamente 1. La segunda derivada es $$f''(x) = -2 \tanh(x) \left(1 - \tanh^{2}(x)\right),$$ una función impar que cruza el cero en \(x = 0\).
Ejemplo resuelto (x = 0.5)
$$\tanh(0.5) = \frac{1.6487212707 - 0.6065306597}{1.6487212707 + 0.6065306597} = 0.4621171573.$$ A partir de ahí, $$f'(0.5) = 1 - 0.4621171573^2 = 0.7864477541,$$ y $$f''(0.5) = -2 \times 0.4621171573 \times 0.7864477541 = -0.7269278407.$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué se desvanece el gradiente cuando x es grande? A medida que \(x\) crece, tanh se satura acercándose a \(\pm 1\), de modo que \(1 - \tanh^2\) tiende a 0. Este "desvanecimiento del gradiente" puede ralentizar el entrenamiento en redes profundas.
¿La derivada llega a ser negativa alguna vez? No. \(f'(x) = \operatorname{sech}^2(x)\) es estrictamente positiva para todo \(x\) real, así que tanh siempre es creciente.
¿Existe riesgo de dividir por cero? No. \(\cosh(x)\) vale como mínimo 1 para cualquier \(x\) real, por lo que \(\operatorname{sech}^2(x)\) siempre está bien definida.
