¿Qué es la función tanh?
La tangente hiperbólica, que se escribe \(\tanh(x)\), es una función suave con forma de S (sigmoide) definida para todo número real \(x\). Se define como el cociente entre la diferencia y la suma de las exponenciales \(e^x\) y \(e^{-x}\). Su resultado se mantiene siempre estrictamente entre -1 y 1, y es una función impar, lo que significa que \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). En el aprendizaje automático, tanh es una función de activación muy utilizada en las neuronas porque está centrada en cero, algo que suele ayudar a que el entrenamiento basado en gradientes converja más rápido que con una sigmoide que va de 0 a 1.
Cómo usar esta calculadora
Introduce cualquier número real en \(x\) y la herramienta te devuelve al instante \(\tanh(x)\) junto con dos derivadas opcionales que resultan muy útiles en cálculo, física y retropropagación. Se admiten números negativos, decimales y magnitudes muy grandes. Para valores positivos elevados de \(x\), el resultado se satura acercándose a +1; para valores negativos elevados, se satura acercándose a -1.
La fórmula explicada
La definición principal es $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$ El denominador siempre vale al menos 2, por lo que nunca se produce una división por cero. La primera derivada se deduce de la elegante identidad $$f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x)$$ que también se escribe como \(\operatorname{sech}^2(x)\). Al derivar de nuevo obtenemos la segunda derivada $$f''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$ Para garantizar la estabilidad numérica con valores muy grandes de \(|x|\), internamente se usa una reformulación basada en la exponencial de \(-2x\), que evita el desbordamiento.
Ejemplo resuelto (x = 0,5)
Tomando \(e^{0{,}5} = 1{,}6487212707\) y \(e^{-0{,}5} = 0{,}6065306597\), tenemos $$\tanh(0{,}5) = \frac{1{,}0421906110}{2{,}2552519304} = 0{,}4621171573$$ La primera derivada es $$1 - 0{,}4621171573^{2} = 0{,}7864477623$$ y la segunda derivada es $$-2 \times 0{,}4621171573 \times 0{,}7864477623 = -0{,}7269989018$$
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el rango de tanh? El intervalo abierto (-1, 1); se acerca a los extremos, pero nunca llega a alcanzarlos.
¿Cuánto vale tanh(0)? Exactamente 0, con \(f'(0) = 1\) y \(f''(0) = 0\).
¿Por qué usar tanh en lugar de la sigmoide? Porque tanh está centrada en cero (sus salidas son simétricas respecto al 0), lo que puede acelerar el aprendizaje de una red neuronal, mientras que la sigmoide logística solo produce valores positivos entre 0 y 1.
