¿Qué es la tangente hiperbólica?
La tangente hiperbólica, que se escribe \(\tanh(x)\), es una de las funciones hiperbólicas fundamentales. Se define como el cociente entre el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico: \(\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\). Para cualquier valor real de \(x\), su resultado se mantiene siempre estrictamente entre -1 y 1, y la curva pasa de forma suave por el origen. Al ser una función suave, acotada y con forma de S, la tanh se utiliza mucho como función de activación en redes neuronales y como curva de saturación suave en el procesamiento de señales.
Cómo usar esta calculadora
Introduce un valor de \(x\) para obtener al instante \(\tanh(x)\), su primera derivada \(\tanh'(x)\) y su segunda derivada \(\tanh''(x)\). Si quieres explorar la forma de las curvas, rellena los campos del intervalo: un valor inicial, un valor final y un paso positivo. La calculadora generará entonces una tabla con \(x\), \(\tanh(x)\), \(\tanh'(x)\) y \(\tanh''(x)\) a lo largo de todo el intervalo. El paso debe ser mayor que cero y el valor final tiene que ser como mínimo igual al inicial; de lo contrario, la tabla no se genera.
Las fórmulas explicadas
La función es $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}.$$ Su derivada tiene una forma muy elegante: $$\tanh'(x) = 1 - \tanh^{2}(x) = \operatorname{sech}^{2}(x),$$ que siempre es positiva y alcanza su máximo de 1 cuando \(x = 0\). Si volvemos a derivar, obtenemos $$\tanh''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right).$$ Para garantizar la estabilidad numérica cuando \(|x|\) es grande, empleamos la función tanh de la biblioteca estándar, que evita el desbordamiento exponencial.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x = 1\). Entonces \(e^{1} = 2{,}718281828\) y \(e^{-1} = 0{,}367879441\), por lo que $$\tanh(1) = \frac{2{,}718281828 - 0{,}367879441}{2{,}718281828 + 0{,}367879441} = 0{,}761594156.$$ La primera derivada es $$1 - 0{,}761594156^{2} = 0{,}419974341,$$ y la segunda derivada es $$-2 \times 0{,}761594156 \times 0{,}419974341 = -0{,}639700.$$
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \(\tanh(0)\)? \(\tanh(0) = 0\), \(\tanh'(0) = 1\) (la pendiente más pronunciada) y \(\tanh''(0) = 0\).
¿La tanh es par o impar? La tanh es una función impar: \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). Su primera derivada es par y su segunda derivada es impar.
¿Cuál es el recorrido de la tanh? El resultado tiende a -1 cuando \(x\) se acerca a menos infinito y a 1 cuando \(x\) se acerca a más infinito, pero nunca llega a alcanzarlos, así que el recorrido es el intervalo abierto \((-1, 1)\).
