ما هي دالة الظل الزائدي؟
دالة الظل الزائدي، التي تُكتب \(\tanh(x)\)، هي إحدى الدوال الزائدية الأساسية. وتُعرَّف بأنها نسبة الجيب الزائدي إلى جيب التمام الزائدي، أي \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\). وعند إدخال أي عدد حقيقي، تكون قيمتها الناتجة محصورة دائمًا بين -1 و1 دون أن تبلغهما، كما تمرّ الدالة بسلاسة عبر نقطة الأصل. ونظرًا لكونها ناعمة ومحدودة وتأخذ شكل حرف S، فإن الظل الزائدي يُستخدم على نطاق واسع كدالة تنشيط في الشبكات العصبية، وكمنحنى إشباع تدريجي في معالجة الإشارات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة \(x\) لتحصل فورًا على \(\tanh(x)\) ومشتقتها الأولى \(\tanh'(x)\) ومشتقتها الثانية \(\tanh''(x)\). ولاستكشاف شكل المنحنيات، املأ حقول المدى: قيمة البداية، وقيمة النهاية، ومقدار الخطوة الموجب. عندها تُنشئ الحاسبة جدولًا يضم قيم \(x\) و\(\tanh(x)\) و\(\tanh'(x)\) و\(\tanh''(x)\) على امتداد المدى المطلوب. ويجب أن يكون مقدار الخطوة أكبر من صفر، وأن تكون قيمة النهاية مساوية لقيمة البداية أو أكبر منها، وإلا فلن يُعرض الجدول.
شرح الصيغ
تُعطى الدالة بالعلاقة $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$ أما مشتقتها فلها صيغة أنيقة هي $$\tanh'(x) = 1 - \tanh^{2}(x) = \operatorname{sech}^{2}(x)$$ وهي قيمة موجبة دائمًا تبلغ ذروتها عند 1 حين يكون \(x = 0\). وعند الاشتقاق مرة أخرى نحصل على $$\tanh''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$ ولضمان الاستقرار العددي عند القيم الكبيرة لـ \(|x|\)، نعتمد على دالة \(\tanh\) المضمَّنة في المكتبة القياسية، إذ تتفادى مشكلة الطفح الأسّي.
مثال محلول
لنأخذ \(x = 1\). عندها يكون \(e^{1} = 2.718281828\) و\(e^{-1} = 0.367879441\)، ومن ثَمَّ فإن $$\tanh(1) = \frac{2.718281828 - 0.367879441}{2.718281828 + 0.367879441} = 0.761594156$$ والمشتقة الأولى تساوي $$1 - 0.761594156^{2} = 0.419974341$$ أما المشتقة الثانية فتساوي $$-2 \times 0.761594156 \times 0.419974341 = -0.639700$$
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \(\tanh(0)\)؟ \(\tanh(0) = 0\)، و\(\tanh'(0) = 1\) (وهو أكبر ميل للمنحنى)، و\(\tanh''(0) = 0\).
هل دالة \(\tanh\) فردية أم زوجية؟ الظل الزائدي دالة فردية، أي \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). أما مشتقتها الأولى فزوجية، ومشتقتها الثانية فردية.
ما مدى قيم دالة \(\tanh\)؟ تقترب القيمة الناتجة من -1 حين يتجه \(x\) نحو سالب اللانهاية، ومن 1 حين يتجه \(x\) نحو موجب اللانهاية، لكنها لا تبلغهما أبدًا؛ ولذلك يكون المدى هو الفترة المفتوحة \((-1, 1)\).
