Hàm tang hyperbolic là gì?
Tang hyperbolic, ký hiệu \(\tanh(x)\), là một trong những hàm hyperbolic cơ bản. Nó được định nghĩa là tỉ số giữa sin hyperbolic và cos hyperbolic: \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\). Với đầu vào là số thực, giá trị của hàm luôn nằm hẳn trong khoảng từ -1 đến 1, và đồ thị đi qua gốc tọa độ một cách mượt mà. Nhờ tính chất trơn, bị chặn và có dạng chữ S, tanh được dùng rộng rãi làm hàm kích hoạt trong mạng nơ-ron cũng như làm đường bão hòa mềm trong xử lý tín hiệu.
Cách dùng công cụ này
Nhập một giá trị x để đọc ngay \(\tanh(x)\), đạo hàm bậc một \(\tanh'(x)\) và đạo hàm bậc hai \(\tanh''(x)\). Muốn khảo sát hình dạng của các đường cong, bạn điền vào các ô khoảng giá trị: điểm đầu, điểm cuối và bước nhảy dương. Khi đó công cụ sẽ lập một bảng gồm \(x\), \(\tanh(x)\), \(\tanh'(x)\) và \(\tanh''(x)\) trên toàn khoảng. Bước nhảy phải lớn hơn 0 và điểm cuối phải lớn hơn hoặc bằng điểm đầu, nếu không bảng sẽ không được tạo.
Giải thích các công thức
Hàm được viết là $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$ Đạo hàm của nó có dạng rất gọn gàng $$\tanh'(x) = 1 - \tanh^{2}(x) = \operatorname{sech}^{2}(x),$$ luôn dương và đạt đỉnh bằng 1 khi \(x = 0\). Lấy đạo hàm thêm một lần nữa ta được $$\tanh''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right).$$ Để đảm bảo ổn định số học khi \(|x|\) lớn, chúng tôi dùng hàm tanh có sẵn trong thư viện chuẩn, nhờ đó tránh được hiện tượng tràn số mũ.
Ví dụ minh họa
Lấy \(x = 1\). Khi đó \(e^{1} = 2.718281828\) và \(e^{-1} = 0.367879441\), nên $$\tanh(1) = \frac{2.718281828 - 0.367879441}{2.718281828 + 0.367879441} = 0.761594156.$$ Đạo hàm bậc một là $$1 - 0.761594156^{2} = 0.419974341,$$ còn đạo hàm bậc hai là $$-2 \times 0.761594156 \times 0.419974341 = -0.639700.$$
Câu hỏi thường gặp
\(\tanh(0)\) bằng bao nhiêu? \(\tanh(0) = 0\), \(\tanh'(0) = 1\) (độ dốc lớn nhất), và \(\tanh''(0) = 0\).
tanh là hàm lẻ hay hàm chẵn? tanh là hàm lẻ, \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). Đạo hàm bậc một của nó là hàm chẵn, còn đạo hàm bậc hai là hàm lẻ.
Miền giá trị của tanh là gì? Giá trị của hàm tiến tới -1 khi x tiến về âm vô cực và tiến tới 1 khi x tiến về dương vô cực, nhưng không bao giờ đạt tới các giá trị đó, vì vậy miền giá trị là khoảng mở \((-1, 1)\).
