什麼是雙曲正切？
雙曲正切寫作 tanh(x)，是最基本的雙曲函數之一。它定義為雙曲正弦與雙曲餘弦的比值，也就是 tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)。對於任何實數輸入，其輸出值都嚴格落在 -1 與 1 之間，而且函數圖形會平滑地通過原點。正因為 tanh 平滑、有界、又呈現 S 形曲線，它被廣泛用作類神經網路的激活函數，也常在訊號處理中當作柔性飽和曲線使用。
計算器使用方式
輸入一個 x 值，即可立即讀出 tanh(x)、其一階導數 tanh'(x)，以及二階導數 tanh''(x)。若想觀察曲線的整體形狀，請填入範圍欄位：起始值、結束值，以及一個正的間距值。計算器便會在這段範圍內產生一張包含 x、tanh(x)、tanh'(x) 與 tanh''(x) 的對照表。請注意，間距必須大於零，且結束值不得小於起始值，否則系統將略過表格。
公式說明
函數本身為 tanh(x) = (e^x − e^(−x)) / (e^x + e^(−x))。其導數有相當簡潔的形式：tanh'(x) = 1 − tanh(x)^2 = sech(x)^2，這個值永遠為正，並在 x = 0 時達到最大值 1。再微分一次可得 tanh''(x) = −2 tanh(x)(1 − tanh(x)^2)。為了在 |x| 很大時維持數值穩定，我們採用標準函式庫的 tanh，藉此避免指數運算溢位。
實例演算
以 x = 1 為例。此時 e^1 = 2.718281828、e^(−1) = 0.367879441，因此 tanh(1) = (2.718281828 − 0.367879441)/(2.718281828 + 0.367879441) = 0.761594156。一階導數為 1 − 0.761594156^2 = 0.419974341，二階導數則為 −2 × 0.761594156 × 0.419974341 = −0.639700。
常見問題
tanh(0) 等於多少？ tanh(0) = 0、tanh'(0) = 1（此處斜率最陡）、tanh''(0) = 0。
tanh 是奇函數還是偶函數？ tanh 是奇函數，滿足 tanh(−x) = −tanh(x)。它的一階導數為偶函數，二階導數則為奇函數。
tanh 的值域是什麼？ 當 x 趨近負無窮大時，輸出趨近 −1；當 x 趨近正無窮大時，輸出趨近 1，但永遠無法真正達到，因此值域為開區間 (−1, 1)。
