tanh 雙曲正切函數計算器

輸入計算

x 的數值

結果

雙曲正切

0.761594

tanh(x)

sinh(x)	1.175201
cosh(x)	1.543081

什麼是 tanh 雙曲正切計算器？

雙曲正切函數寫作 tanh(x)，是最基本的雙曲函數之一。它能把任何實數 x 對應到一個介於 -1 與 1 之間的數值，因此呈現出平滑的 S 形（sigmoid）曲線。這個計算器可針對任意輸入算出 tanh(x)，並同時回傳相關的 sinh(x) 與 cosh(x)。

如何使用

在 x 欄位輸入任意實數——可以是正數、負數、小數或零——計算器就會立即回傳 tanh(x)，並附上 sinh(x) 與 cosh(x)。這些都是純數學函數，不需要任何單位。

公式解析

雙曲正切函數可直接由指數函數定義：

tanh(x) = (eˣ − e⁻ˣ) / (eˣ + e⁻ˣ)

它其實就是雙曲正弦 sinh(x) = (eˣ − e⁻ˣ)/2 與雙曲餘弦 cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2 的比值。當 x 趨向很大的正數時，tanh(x) 會逼近 1；當 x 趨向很大的負數時，則逼近 -1；而 tanh(0) = 0。

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tanh 曲線呈 S 形，取值在 -1 與 +1 之間，並在原點處穿過零。

實際範例

以 x = 1 為例：e¹ ≈ 2.718282、e⁻¹ ≈ 0.367879。於是 tanh(1) = (2.718282 − 0.367879) / (2.718282 + 0.367879) = 2.350402 / 3.086161 ≈ 0.761594。計算器同時會顯示 sinh(1) ≈ 1.175201、cosh(1) ≈ 1.543081。

常見問題

tanh(x) 的值域是多少？無論 x 多大，輸出值都會落在開區間 (-1, 1) 之內。

tanh 是奇函數嗎？是的。tanh(-x) = -tanh(x)，因此它對原點呈對稱。

tanh 用在哪些地方？它在神經網路中常作為激活函數，在物理學中用於描述相對論速度疊加，也常出現在微分方程的解中。