À quoi sert le calculateur de tanh ?
La tangente hyperbolique, notée \(\tanh(x)\), est l'une des fonctions hyperboliques fondamentales. Elle transforme n'importe quel nombre réel \(x\) en une valeur strictement comprise entre -1 et 1, ce qui en fait une fonction régulière en forme de S (sigmoïde). Ce calculateur détermine \(\tanh(x)\) pour n'importe quelle entrée et fournit également les fonctions associées \(\sinh(x)\) et \(\cosh(x)\).
Comment l'utiliser
Saisissez un nombre réel quelconque pour \(x\) — positif, négatif, décimal ou nul — et le calculateur renvoie \(\tanh(x)\) ainsi que \(\sinh(x)\) et \(\cosh(x)\). Aucune unité n'est nécessaire : il s'agit de fonctions purement mathématiques.
La formule expliquée
La tangente hyperbolique se définit directement à partir de la fonction exponentielle :
$$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$
C'est le rapport entre le sinus hyperbolique, \(\sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\), et le cosinus hyperbolique, \(\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\). Lorsque \(x\) devient très grand et positif, \(\tanh(x)\) tend vers 1 ; lorsqu'il devient très grand et négatif, il tend vers -1 ; et \(\tanh(0) = 0\).
Exemple détaillé
Pour \(x = 1\) : \(e^{1} \approx 2{,}718282\) et \(e^{-1} \approx 0{,}367879\). On obtient alors $$\tanh(1) = \frac{2{,}718282 - 0{,}367879}{2{,}718282 + 0{,}367879} = \frac{2{,}350402}{3{,}086161} \approx 0{,}761594.$$ Le calculateur indique aussi \(\sinh(1) \approx 1{,}175201\) et \(\cosh(1) \approx 1{,}543081\).
FAQ
Quel est l'ensemble des valeurs de \(\tanh(x)\) ? Le résultat se situe toujours dans l'intervalle ouvert \((-1, 1)\), quelle que soit la taille de \(x\).
La fonction tanh est-elle impaire ? Oui. \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\) : elle est donc symétrique par rapport à l'origine.
Où la fonction tanh est-elle utilisée ? On la retrouve dans les réseaux de neurones comme fonction d'activation, en physique pour décrire l'addition relativiste des vitesses, et dans la résolution d'équations différentielles.
