Qu'est-ce que la tangente hyperbolique ?
La tangente hyperbolique, notée \(\tanh(x)\), fait partie des fonctions hyperboliques fondamentales. On la définit comme le rapport du sinus hyperbolique au cosinus hyperbolique, soit \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\). Pour toute entrée réelle, sa valeur reste strictement comprise entre -1 et 1, et la courbe traverse l'origine en douceur. Régulière, bornée et de forme en S, la fonction tanh est très utilisée comme fonction d'activation dans les réseaux de neurones et comme courbe de saturation progressive en traitement du signal.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez une valeur de x pour lire instantanément \(\tanh(x)\), sa dérivée première \(\tanh'(x)\) et sa dérivée seconde \(\tanh''(x)\). Pour visualiser l'allure des courbes, renseignez les champs de l'intervalle : une valeur de départ, une valeur de fin et un pas strictement positif. Le calculateur construit alors un tableau des valeurs de x, \(\tanh(x)\), \(\tanh'(x)\) et \(\tanh''(x)\) sur tout l'intervalle. Le pas doit être supérieur à zéro et la borne de fin au moins égale à la borne de départ ; sinon, le tableau n'est pas généré.
Les formules expliquées
La fonction s'écrit $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}.$$ Sa dérivée prend une forme élégante : $$\tanh'(x) = 1 - \tanh^{2}(x) = \operatorname{sech}^{2}(x);$$ elle est toujours positive et atteint son maximum, égal à 1, lorsque \(x = 0\). Une nouvelle dérivation donne $$\tanh''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right).$$ Pour garantir la stabilité numérique aux grandes valeurs de \(|x|\), nous utilisons la fonction tanh de la bibliothèque standard, qui évite les dépassements liés aux exponentielles.
Exemple détaillé
Prenons \(x = 1\). On a alors \(e^{1} = 2{,}718281828\) et \(e^{-1} = 0{,}367879441\), d'où $$\tanh(1) = \frac{2{,}718281828 - 0{,}367879441}{2{,}718281828 + 0{,}367879441} = 0{,}761594156.$$ La dérivée première vaut \(1 - 0{,}761594156^{2} = 0{,}419974341\), et la dérivée seconde \(-2 \times 0{,}761594156 \times 0{,}419974341 = -0{,}639700\).
Questions fréquentes
Que vaut \(\tanh(0)\) ? \(\tanh(0) = 0\), \(\tanh'(0) = 1\) (la pente la plus forte) et \(\tanh''(0) = 0\).
La fonction tanh est-elle paire ou impaire ? tanh est une fonction impaire : \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). Sa dérivée première est paire et sa dérivée seconde est impaire.
Quel est l'ensemble des valeurs de tanh ? La fonction tend vers -1 lorsque x tend vers moins l'infini et vers 1 lorsque x tend vers plus l'infini, sans jamais atteindre ces bornes : son ensemble de valeurs est donc l'intervalle ouvert \((-1, 1)\).
