双曲線正接（tanh）とは
双曲線正接はtanh(x)と表記され、基本的な双曲線関数の一つです。双曲線正弦と双曲線余弦の比として、\(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\) と定義されます。実数を入力すると、出力は常に -1 と 1 の間（両端を含まない）に収まり、グラフは原点を滑らかに通過します。滑らかで有界、かつS字型という性質から、tanhはニューラルネットワークの活性化関数や、信号処理におけるなだらかな飽和曲線として広く利用されています。
この計算機の使い方
xの値を入力すると、tanh(x)、その1次微分 tanh'(x)、2次微分 tanh''(x) がその場で求められます。曲線全体の形を確認したい場合は、範囲の項目（開始値・終了値・正の刻み幅）を入力してください。指定した範囲にわたって x、tanh(x)、tanh'(x)、tanh''(x) の表が作成されます。刻み幅は0より大きく、終了値は開始値以上である必要があります。条件を満たさない場合、表は作成されません。
計算式の解説
関数は $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$ で定義されます。その導関数は $$\tanh'(x) = 1 - \tanh(x)^{2} = \operatorname{sech}(x)^{2}$$ という美しい形を持ち、常に正で、\(x = 0\) のとき最大値1をとります。さらに微分すると $$\tanh''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh(x)^{2}\right)$$ となります。\(|x|\) が大きい場合の数値的安定性を確保するため、指数関数のオーバーフローを避ける標準ライブラリの tanh を用いています。
計算例
\(x = 1\) とします。このとき \(e^{1} = 2.718281828\)、\(e^{-1} = 0.367879441\) なので、$$\tanh(1) = \frac{2.718281828 - 0.367879441}{2.718281828 + 0.367879441} = 0.761594156$$ となります。1次微分は \(1 - 0.761594156^{2} = 0.419974341\)、2次微分は \(-2 \times 0.761594156 \times 0.419974341 = -0.639700\) です。
よくある質問
tanh(0) はいくつですか？ \(\tanh(0) = 0\)、\(\tanh'(0) = 1\)（傾きが最も急になる点）、\(\tanh''(0) = 0\) です。
tanh は奇関数ですか、偶関数ですか？ tanh は奇関数で、\(\tanh(-x) = -\tanh(x)\) が成り立ちます。1次微分は偶関数、2次微分は奇関数です。
tanh の値域は？ 出力は x が負の無限大に近づくと -1 に、正の無限大に近づくと 1 に近づきますが、決してその値には達しません。したがって値域は開区間 \((-1, 1)\) です。
