Что такое гиперболический тангенс?
Гиперболический тангенс, обозначаемый \(\tanh(x)\), — одна из основных гиперболических функций. Он определяется как отношение гиперболического синуса к гиперболическому косинусу: \(\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)\). Для любого действительного аргумента значение функции строго лежит между −1 и 1, а сама кривая плавно проходит через начало координат. Благодаря своей гладкости, ограниченности и характерной S-образной форме tanh широко применяется как функция активации в нейронных сетях и как кривая мягкого насыщения при обработке сигналов.
Как пользоваться калькулятором
Введите значение x, и калькулятор сразу покажет \(\tanh(x)\), первую производную \(\tanh'(x)\) и вторую производную \(\tanh''(x)\). Чтобы увидеть, как ведут себя кривые, заполните поля интервала: начальное значение, конечное значение и положительный шаг. После этого калькулятор построит таблицу значений x, tanh(x), tanh'(x) и tanh''(x) на всём интервале. Шаг должен быть больше нуля, а конец интервала — не меньше начала, иначе таблица не строится.
Разбор формул
Сама функция задаётся выражением $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}.$$ Её производная имеет элегантный вид $$\tanh'(x) = 1 - \tanh(x)^2 = \operatorname{sech}(x)^2;$$ она всегда положительна и достигает максимума, равного 1, при \(x = 0\). Дифференцируя ещё раз, получаем $$\tanh''(x) = -2\cdot\tanh(x)\cdot(1 - \tanh(x)^2).$$ Для устойчивых вычислений при больших \(|x|\) мы используем стандартную библиотечную функцию tanh, которая предотвращает переполнение при возведении экспоненты в степень.
Разбор примера
Возьмём \(x = 1\). Тогда \(e^1 = 2{,}718281828\) и \(e^{-1} = 0{,}367879441\), поэтому $$\tanh(1) = \frac{2{,}718281828 - 0{,}367879441}{2{,}718281828 + 0{,}367879441} = 0{,}761594156.$$ Первая производная равна $$1 - 0{,}761594156^2 = 0{,}419974341,$$ а вторая производная — $$-2 \times 0{,}761594156 \times 0{,}419974341 = -0{,}639700.$$
Частые вопросы
Чему равен tanh(0)? \(\tanh(0) = 0\), \(\tanh'(0) = 1\) (это самый крутой наклон кривой), а \(\tanh''(0) = 0\).
tanh — чётная или нечётная функция? tanh — нечётная функция: \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). При этом её первая производная чётная, а вторая — нечётная.
Какова область значений tanh? При стремлении x к минус бесконечности значение приближается к −1, а при стремлении к плюс бесконечности — к 1, но никогда их не достигает. Поэтому область значений — открытый интервал (−1, 1).
