쌍곡탄젠트란?
쌍곡탄젠트는 \(\tanh(x)\)로 표기하며, 가장 기본이 되는 쌍곡함수 중 하나입니다. 쌍곡사인을 쌍곡코사인으로 나눈 값, 즉 \(\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\)로 정의됩니다. 실수 입력에 대해 출력값은 항상 -1과 1 사이에 엄격히 머무르며, 함수는 원점을 매끄럽게 지나갑니다. 매끄럽고 유계이며 S자 형태를 띠기 때문에 tanh는 신경망의 활성화 함수나 신호 처리에서 부드러운 포화 곡선으로 널리 활용됩니다.
계산기 사용법
x 값을 입력하면 \(\tanh(x)\)와 1차 도함수 \(\tanh'(x)\), 2차 도함수 \(\tanh''(x)\)를 즉시 확인할 수 있습니다. 곡선의 전체 형태를 살펴보려면 구간 입력란을 채우면 됩니다. 시작값, 끝값, 그리고 양수인 간격(스텝)을 지정하면 계산기가 해당 구간에 걸쳐 x, tanh(x), tanh'(x), tanh''(x)의 표를 만들어 줍니다. 단, 간격은 0보다 커야 하고 끝값은 시작값 이상이어야 하며, 그렇지 않으면 표는 생성되지 않습니다.
공식 풀이
함수는 다음과 같습니다.
$$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$도함수는 다음과 같은 우아한 형태를 가지며,
$$\frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^{2}(x) = \operatorname{sech}^{2}(x)$$항상 양수이고 x = 0일 때 최댓값 1에 도달합니다. 한 번 더 미분하면 다음이 됩니다.
$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}\tanh(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$\(|x|\)가 큰 경우 수치적 안정성을 위해 표준 라이브러리의 tanh를 사용하여 지수 함수의 오버플로를 방지합니다.
계산 예시
\(x = 1\)을 예로 들어 봅시다. \(e^{1} = 2.718281828\), \(e^{-1} = 0.367879441\)이므로
$$\tanh(1) = \frac{2.718281828 - 0.367879441}{2.718281828 + 0.367879441} = 0.761594156$$1차 도함수는
$$1 - 0.761594156^{2} = 0.419974341$$이고, 2차 도함수는
$$-2 \times 0.761594156 \times 0.419974341 = -0.639700$$입니다.
자주 묻는 질문
tanh(0)은 얼마인가요? \(\tanh(0) = 0\), \(\tanh'(0) = 1\)(기울기가 가장 가파른 지점), \(\tanh''(0) = 0\)입니다.
tanh는 기함수인가요, 우함수인가요? tanh는 기함수로, \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\)가 성립합니다. 1차 도함수는 우함수이고 2차 도함수는 기함수입니다.
tanh의 치역은 무엇인가요? x가 음의 무한대로 가면 출력값은 -1에, 양의 무한대로 가면 1에 가까워지지만 결코 그 값에 도달하지는 않습니다. 따라서 치역은 열린구간 \((-1, 1)\)입니다.
