이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 임의의 실수 입력 x에 대해 쌍곡탄젠트 함수 \(\tanh(x)\)를 구하고, 무엇보다 중요한 1차 도함수 \(\tanh'(x)\)를 계산합니다. 또한 2차 도함수 \(\tanh''(x)\)도 함께 제공합니다. 쌍곡탄젠트는 출력값이 -1과 1 사이로 제한되는 매끄러운 S자 형태(시그모이드형) 함수로, 이러한 특성 때문에 신경망의 활성화 함수는 물론 물리학·공학 모델에서도 자주 등장합니다.
사용 방법
x에 임의의 실수를 입력하고 실행하면 됩니다. 계산기는 \(\tanh(x)\)를 한 번 계산한 뒤, 그 값을 이용해 1차 도함수와 2차 도함수를 함께 도출합니다. 별도로 단위를 변환할 필요는 없습니다. x는 단위가 없는 실수이며, 모든 출력값 역시 무차원입니다.
공식 설명
쌍곡탄젠트는 $$\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$ 로 정의됩니다. 1차 도함수는 $$f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x)$$ 라는 우아한 닫힌 형태를 가지며, 이는 \(\operatorname{sech}^2(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}\) 와 동일합니다. \(\tanh(x)\)가 \((-1, 1)\) 범위에 있으므로 1차 도함수는 항상 \((0, 1]\) 범위에 들어가며, \(x = 0\)에서 기울기가 정확히 1로 최댓값을 가집니다. 2차 도함수는 $$f''(x) = -2\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)$$ 로, \(x = 0\)에서 0을 지나는 기함수입니다.
계산 예시 (x = 0.5)
$$\tanh(0.5) = \frac{1.6487212707 - 0.6065306597}{1.6487212707 + 0.6065306597} = 0.4621171573$$ 입니다. 따라서 $$f'(0.5) = 1 - 0.4621171573^2 = 0.7864477541$$ 이고, $$f''(0.5) = -2 \times 0.4621171573 \times 0.7864477541 = -0.7269278407$$ 이 됩니다.
자주 묻는 질문
x가 커지면 왜 기울기가 사라지나요? x가 커질수록 tanh는 \(\pm 1\)에 가까워져 포화되므로 \(1 - \tanh^2\) 값이 0에 수렴합니다. 이러한 "기울기 소실(vanishing gradient)" 현상은 심층 신경망의 학습 속도를 늦출 수 있습니다.
도함수가 음수가 될 수도 있나요? 아니요. \(f'(x) = \operatorname{sech}^2(x)\) 는 모든 실수 x에 대해 항상 양수이므로, tanh는 언제나 증가하는 함수입니다.
0으로 나눌 위험이 있나요? 없습니다. \(\cosh(x)\)는 모든 실수 x에 대해 최소 1 이상이므로 \(\operatorname{sech}^2(x)\)는 항상 잘 정의됩니다.
