ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة حساب دالة الظل الزائدي \(\tanh(x)\)، والأهم من ذلك، مشتقتها الأولى \(\tanh'(x)\) عند أي قيمة حقيقية للمُدخل \(x\). كما تعرض المشتقة الثانية \(\tanh''(x)\) أيضًا. ودالة الظل الزائدي هي دالة ناعمة على شكل حرف S (سيغمويدية) تنحصر مخرجاتها بين \(-1\) و\(1\)، وهذا بالضبط ما يجعلها واسعة الانتشار كدالة تنشيط في الشبكات العصبية، وكذلك في نماذج الفيزياء والهندسة.
كيفية الاستخدام
أدخل أي رقم حقيقي للقيمة \(x\) ثم اضغط للحساب. تقوم الحاسبة بإيجاد قيمة \(\tanh(x)\) مرة واحدة، ثم تشتق منها كلاً من المشتقة الأولى والثانية اعتمادًا على هذه القيمة الواحدة. لا توجد وحدات تحتاج إلى تحويل: فالقيمة \(x\) عدد حقيقي بلا أبعاد، وجميع المخرجات كذلك بلا أبعاد.
شرح المعادلة
تُعطى دالة الظل الزائدي بالصيغة $$\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.$$ أما مشتقتها الأولى فلها صورة مغلقة أنيقة هي $$f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x),$$ وتكافئ \(\operatorname{sech}^2(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}\). وبما أن قيمة \(\tanh(x)\) تقع في المجال \((-1, 1)\)، فإن المشتقة الأولى تقع دائمًا في المجال \((0, 1]\)، وتبلغ ذروتها عند \(x = 0\) حيث يكون الميل مساويًا تمامًا للواحد. أما المشتقة الثانية فهي $$f''(x) = -2\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right),$$ وهي دالة فردية تقطع الصفر عند \(x = 0\).
مثال محلول (x = 0.5)
$$\tanh(0.5) = \frac{1.6487212707 - 0.6065306597}{1.6487212707 + 0.6065306597} = 0.4621171573.$$ ومن ثم $$f'(0.5) = 1 - 0.4621171573^2 = 0.7864477541,$$ و$$f''(0.5) = -2 \times 0.4621171573 \times 0.7864477541 = -0.7269278407.$$
الأسئلة الشائعة
لماذا يتلاشى التدرج (المشتقة) عند القيم الكبيرة لـ \(x\)؟ كلما زادت \(x\)، تتشبّع دالة tanh وتقترب من \(\pm 1\)، فتقترب القيمة \(1 - \tanh^2\) من الصفر. وهذه الظاهرة المعروفة بـ«تلاشي التدرج» قد تبطئ تدريب الشبكات العصبية العميقة.
هل يمكن أن تكون المشتقة سالبة؟ لا. فالقيمة \(f'(x) = \operatorname{sech}^2(x)\) موجبة تمامًا لكل قيمة حقيقية لـ \(x\)، ولذلك فإن دالة tanh متزايدة دائمًا.
هل هناك خطر القسمة على صفر؟ لا. فالقيمة \(\cosh(x)\) لا تقل عن \(1\) لأي عدد حقيقي \(x\)، وبالتالي فإن \(\operatorname{sech}^2(x)\) مُعرّفة دائمًا بشكل سليم.
