Tanh Fonksiyonu Birinci Türev Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

x (reel sayı)

Sonuç

Birinci Türev tanh'(x)

0,786448

= 1 - tanh(x)^2

tanh(x)	0,462117
tanh'(x)	0,786448
tanh''(x)	-0,726862

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, hiperbolik tanjant fonksiyonu \(\tanh(x)\) değerini ve daha da önemlisi birinci türevi \(\tanh'(x)\) değerini herhangi bir reel x girdisi için hesaplar. Ayrıca ikinci türevi \(\tanh''(x)\) de gösterir. Hiperbolik tanjant, çıktısı -1 ile 1 arasında sınırlı kalan, pürüzsüz ve S biçimli (sigmoid) bir fonksiyondur; tam da bu yüzden sinir ağlarında aktivasyon fonksiyonu olarak ve fizik ile mühendislik modellerinde sıkça karşımıza çıkar.

Nasıl kullanılır?

x için herhangi bir reel sayı girin ve hesaplatın. Hesaplayıcı önce \(\tanh(x)\) değerini bir kez bulur, ardından birinci ve ikinci türevi bu tek değerden türetir. Dönüştürülecek bir birim yoktur: x boyutsuz bir reel sayıdır ve tüm çıktılar da boyutsuzdur.

Formülün açıklaması

Hiperbolik tanjant şöyle tanımlanır: $$\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.$$ Birinci türevi ise şık ve kapalı bir biçime sahiptir: $$f'(x) = 1 - \tanh^2(x),$$ eşdeğer olarak \(\operatorname{sech}^2(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}\). \(\tanh(x)\) değeri \((-1, 1)\) aralığında kaldığından, birinci türev her zaman \((0, 1]\) aralığındadır ve en yüksek değerine \(x = 0\) noktasında, eğimin tam olarak 1 olduğu yerde ulaşır. İkinci türev ise $$f''(x) = -2\tanh(x)\left(1 - \tanh^2(x)\right)$$ olup, \(x = 0\) noktasında sıfırdan geçen tek (odd) bir fonksiyondur.

Reklam

tanh fonksiyonu (S eğrisi) ve birinci türevi 1 - tanh²(x), x = 0'da tepe yapan çan biçimli bir tümsek.

Çözümlü örnek (x = 0.5)

$$\tanh(0.5) = \frac{1.6487212707 - 0.6065306597}{1.6487212707 + 0.6065306597} = 0.4621171573.$$ Buradan $$f'(0.5) = 1 - 0.4621171573^2 = 0.7864477541$$ ve $$f''(0.5) = -2 \times 0.4621171573 \times 0.7864477541 = -0.7269278407$$ elde edilir.

x = 0,5'te türev, tanh eğrisine çizilen teğet doğrunun eğimine eşittir.

Sıkça Sorulan Sorular

Büyük x değerlerinde gradyan neden kaybolur? x büyüdükçe tanh, \(\pm 1\) değerine doyuma ulaşır; dolayısıyla \(1 - \tanh^2\) ifadesi 0'a yaklaşır. Bu "kaybolan gradyan" (vanishing gradient) sorunu, derin ağlarda eğitimi yavaşlatabilir.

Türev hiç negatif olur mu? Hayır. \(f'(x) = \operatorname{sech}^2(x)\) tüm reel x değerleri için kesinlikle pozitiftir, bu nedenle tanh daima artan bir fonksiyondur.

Sıfıra bölme riski var mı? Hayır. \(\cosh(x)\) her reel x için en az 1'dir; bu yüzden \(\operatorname{sech}^2(x)\) her zaman iyi tanımlıdır.