Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Bu araç, \(\operatorname{ber}_v'(x)\) ve \(\operatorname{bei}_v'(x)\) olarak yazılan birinci tür Kelvin fonksiyonlarının birinci türevleri için bir tablo (ve çizgi grafiği) oluşturur; bunu herhangi bir reel \(v\) mertebesi ve seçtiğiniz bir \(x\) aralığı için yapar. Kelvin fonksiyonları elektrik mühendisliğinde (iletkenlerdeki deri etkisi), ısı iletiminde ve salınımlı viskoz akış analizinde karşımıza çıkar. Türevleri ise Kelvin fonksiyonlarıyla tanımlanan alan veya akım yoğunluğu profillerinin türevini aldığınız her durumda devreye girer.
Nasıl kullanılır?
\(v\) mertebesini (varsayılan 0), \(x\)'in başlangıç değerini, ardışık \(x\) değerleri arasındaki artış miktarını ve tekrar sayısını (satır sayısını) girin. Hesaplayıcı, \(i = 0, 1, \dots, \text{sayı}-1\) için \(x_i = \text{başlangıçX} + i\cdot\text{adımX}\) değerlerini üretir, her noktada her iki türevi de hesaplar ve kaydırılabilir bir tablonun yanı sıra iki eğriyi karşılaştıran bir grafik sunar.
Formülün açıklaması
Kelvin fonksiyonları $$\operatorname{ber}_v(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v(x) = J_v\!\left(x\cdot e^{3\pi i/4}\right)$$ ile tanımlanır. \(z = x\cdot e^{3\pi i/4}\) alıp \(J_v'(z) = \frac{1}{2}\left(J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right)\) Bessel türev özdeşliğini zincir kuralıyla (\(dz/dx = e^{3\pi i/4}\)) birlikte kullandığımızda, $$\operatorname{ber}_v'(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v'(x) = e^{3\pi i/4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right]$$ sonucuna ulaşırız. Reel kısım \(\operatorname{ber}_v'(x)\), sanal kısım ise \(\operatorname{bei}_v'(x)\)'tir. Bessel değerleri, karmaşık aritmetikte kuvvet serisi toplanarak hesaplanır; her terim kararlılık için \(t_{m+1} = t_m\cdot\dfrac{-(z/2)^2}{(m+1)(v+m+1)}\) oranıyla ilerletilir.
Örnek hesap
\(v = 0\) ve \(x = 1\) için reel seri \(\operatorname{ber}_0'(1) \approx -0{,}06245\) ve \(\operatorname{bei}_0'(1) \approx 0{,}49740\) değerlerini verir. \(x = 0\) noktasında ise \(v = 0\) için her iki türev de \(0\)'dır.
Sıkça sorulan sorular
Negatif \(x\) değerlerini destekliyor mu? Evet. Karmaşık Bessel serisi kullanıldığından, \(x = -10\)'dan başlayan varsayılan aralık tamamen desteklenir.
Hangi \(v\) mertebeleri kullanılabilir? Tam sayı olmayan ve negatif mertebeler dâhil olmak üzere herhangi bir reel sayı; bunlar Lanczos gama yaklaşımıyla hesaplanır.
Büyük \(|x|\) değerleri için ne kadar doğru? Doğrudan seri, kabaca \(x \in [-20, 20]\) aralığında güvenilirdir; bu aralığın dışında seri içindeki sadeleşmeler hassasiyeti azaltabilir.
