यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी भी वास्तविक कोटि v के लिए, x की एक रेंज पर, पहले प्रकार के केल्विन फंक्शनों के प्रथम अवकलज — जिन्हें \(\operatorname{ber}_v'(x)\) और \(\operatorname{bei}_v'(x)\) लिखा जाता है — की तालिका (और एक रेखा-ग्राफ़) तैयार करता है। केल्विन फंक्शन इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग (चालकों में स्किन इफ़ेक्ट), ऊष्मा चालन, और दोलनशील श्यान प्रवाह (oscillating viscous flow) के विश्लेषण में सामने आते हैं। जब भी आप केल्विन फंक्शनों से वर्णित क्षेत्र या धारा-घनत्व (current-density) प्रोफ़ाइलों का अवकलन करते हैं, तब इनके अवकलज प्रकट होते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
कोटि v (डिफ़ॉल्ट 0), x का प्रारंभिक मान, क्रमागत x मानों के बीच की वृद्धि, और पुनरावृत्तियों (पंक्तियों) की संख्या दर्ज करें। कैलकुलेटर \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) के अनुसार x मान बनाता है, जहाँ \(i = 0, 1, \dots, \text{count}-1\), फिर हर बिंदु पर दोनों अवकलज की गणना करता है, और एक स्क्रॉल होने वाली तालिका के साथ-साथ दोनों वक्रों की तुलना दर्शाता एक ग्राफ़ प्रस्तुत करता है।
सूत्र की व्याख्या
केल्विन फंक्शन इस प्रकार परिभाषित हैं:
$$\operatorname{ber}_v(x) + i\,\operatorname{bei}_v(x) = J_v\!\left(x\,e^{3\pi i/4}\right)$$यदि हम \(z = x\,e^{3\pi i/4}\) रखें और बेसेल अवकलज सर्वसमिका \(J_v'(z) = \tfrac{1}{2}\left(J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right)\) को श्रृंखला नियम (chain rule, \(dz/dx = e^{3\pi i/4}\)) के साथ प्रयोग करें, तो हमें मिलता है:
$$\operatorname{ber}_v'(x) + i\,\operatorname{bei}_v'(x) = e^{3\pi i/4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left[J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right]$$इसका वास्तविक भाग \(\operatorname{ber}_v'(x)\) है; काल्पनिक भाग \(\operatorname{bei}_v'(x)\) है। बेसेल मानों की गणना सम्मिश्र (complex) अंकगणित में घात-श्रृंखला (power series) को जोड़कर की जाती है, जहाँ स्थिरता के लिए प्रत्येक पद को अनुपात \(t_{m+1} = t_m \cdot \dfrac{-(z/2)^2}{(m+1)(v+m+1)}\) से आगे बढ़ाया जाता है।
हल किया गया उदाहरण
\(v = 0\) और \(x = 1\) के लिए, वास्तविक श्रृंखला से \(\operatorname{ber}_0'(1) \approx -0.06245\) और \(\operatorname{bei}_0'(1) \approx 0.49740\) प्राप्त होता है। \(x = 0\) पर \(v = 0\) के लिए दोनों अवकलज 0 होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह ऋणात्मक x को संभालता है? हाँ। सम्मिश्र बेसेल श्रृंखला का उपयोग होने के कारण, \(x = -10\) से शुरू होने वाली डिफ़ॉल्ट रेंज पूरी तरह समर्थित है।
कौन-कौन सी कोटि v अनुमत हैं? कोई भी वास्तविक संख्या, जिसमें गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक कोटियाँ भी शामिल हैं, जिनका मूल्यांकन Lanczos गामा सन्निकटन (approximation) से किया जाता है।
बड़े |x| के लिए यह कितना सटीक है? प्रत्यक्ष श्रृंखला लगभग \(x \in [-20, 20]\) पर भरोसेमंद रहती है; इससे आगे, श्रृंखला में पदों के परस्पर कटाव (cancellation) से परिशुद्धता घट सकती है।
