이 계산기의 기능
이 도구는 제1종 켈빈 함수의 1계 도함수인 \(\operatorname{ber}_v'(x)\)와 \(\operatorname{bei}_v'(x)\)를 임의의 실수 차수 \(v\)에 대해 지정한 \(x\) 구간에서 표와 선 그래프로 만들어 줍니다. 켈빈 함수는 전기공학(도체의 표피 효과), 열전도, 그리고 진동하는 점성 유동 해석 등에 등장합니다. 켈빈 함수로 표현되는 전자기장이나 전류 밀도 분포를 미분할 때면 언제나 이들의 도함수가 나타납니다.
사용 방법
차수 \(v\)(기본값 0), \(x\)의 시작값, 연속된 \(x\) 값 사이의 증분, 그리고 반복 횟수(행 개수)를 입력하세요. 계산기는 \(i = 0, 1, \dots, \text{count}-1\)에 대해 \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) 형태로 \(x\) 값을 생성하고, 각 지점에서 두 도함수를 계산한 뒤, 스크롤 가능한 표와 두 곡선을 비교한 그래프를 함께 보여 줍니다.
공식 설명
켈빈 함수는 $$\operatorname{ber}_v(x) + i\,\operatorname{bei}_v(x) = J_v\!\left(x\,e^{3\pi i/4}\right)$$로 정의됩니다. 여기서 \(z = x\,e^{3\pi i/4}\)로 두고, 베셀 함수 도함수 항등식 \(J_v'(z) = \tfrac{1}{2}\left(J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right)\)와 연쇄 법칙(\(dz/dx = e^{3\pi i/4}\))을 함께 적용하면 $$\operatorname{ber}_v'(x) + i\,\operatorname{bei}_v'(x) = e^{3\pi i/4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right]$$를 얻습니다. 실수부가 \(\operatorname{ber}_v'(x)\)이고 허수부가 \(\operatorname{bei}_v'(x)\)입니다. 베셀 함수 값은 복소수 연산으로 멱급수를 합산하여 구하며, 수치적 안정성을 위해 각 항을 비율 \(t_{m+1} = t_m\cdot\dfrac{-(z/2)^2}{(m+1)(v+m+1)}\)로 갱신합니다.
계산 예시
\(v = 0\)이고 \(x = 1\)일 때, 실수 급수로부터 \(\operatorname{ber}_0'(1) \approx -0.06245\), \(\operatorname{bei}_0'(1) \approx 0.49740\)이 됩니다. \(v = 0\)일 때 \(x = 0\)에서는 두 도함수가 모두 0입니다.
자주 묻는 질문
음수 \(x\)도 처리할 수 있나요? 네. 복소수 베셀 급수를 사용하므로 \(x = -10\)에서 시작하는 기본 구간도 완전히 지원합니다.
차수 \(v\)는 어떤 값까지 가능한가요? 정수가 아닌 값이나 음수를 포함한 임의의 실수가 가능하며, 란초스(Lanczos) 감마 근사를 사용해 계산합니다.
\(|x|\)가 클 때 정확도는 어떤가요? 직접 급수 계산은 대략 \(x \in [-20, 20]\) 범위에서 신뢰할 수 있습니다. 그 범위를 벗어나면 급수 항들이 서로 상쇄되면서 정밀도가 떨어질 수 있습니다.
