Qué hace esta calculadora
Esta herramienta construye una tabla (y una gráfica de líneas) de las primeras derivadas de las funciones de Kelvin de primera especie, denotadas \(\operatorname{ber}_v'(x)\) y \(\operatorname{bei}_v'(x)\), a lo largo de un rango de x y para cualquier orden real v. Las funciones de Kelvin aparecen en ingeniería eléctrica (efecto pelicular o «skin effect» en conductores), en la conducción del calor y en el análisis de flujos viscosos oscilantes. Sus derivadas surgen siempre que diferencias perfiles de campo o de densidad de corriente descritos mediante funciones de Kelvin.
Cómo usarla
Introduce el orden v (por defecto 0), el valor inicial de x, el incremento entre valores sucesivos de x y el número de repeticiones (filas). La calculadora genera los valores \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) para \(i = 0, 1, \dots, \text{count}-1\), evalúa ambas derivadas en cada punto y muestra una tabla desplazable junto con una gráfica comparativa de las dos curvas.
La fórmula explicada
Las funciones de Kelvin se definen mediante \(\operatorname{ber}_v(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v(x) = J_v(x\cdot e^{3\pi i/4})\). Tomando \(z = x\cdot e^{3\pi i/4}\) y aplicando la identidad de la derivada de Bessel \(J_v'(z) = \frac{1}{2}\left(J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right)\) junto con la regla de la cadena \(\left(\frac{dz}{dx} = e^{3\pi i/4}\right)\), obtenemos $$\operatorname{ber}_v'(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v'(x) = e^{3\pi i/4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right].$$ La parte real es \(\operatorname{ber}_v'(x)\) y la parte imaginaria es \(\operatorname{bei}_v'(x)\). Los valores de Bessel se calculan sumando la serie de potencias en aritmética compleja, avanzando cada término mediante la razón \(t_{m+1} = t_m\cdot\frac{-(z/2)^2}{(m+1)(v+m+1)}\) para mantener la estabilidad.
Ejemplo resuelto
Para \(v = 0\) y \(x = 1\), la serie real da \(\operatorname{ber}_0'(1) \approx -0{,}06245\) y \(\operatorname{bei}_0'(1) \approx 0{,}49740\). En \(x = 0\) ambas derivadas valen 0 cuando \(v = 0\).
Preguntas frecuentes
¿Admite valores negativos de x? Sí. Se emplea la serie de Bessel compleja, de modo que el rango por defecto que arranca en \(x = -10\) está totalmente soportado.
¿Qué órdenes v se permiten? Cualquier número real, incluidos órdenes no enteros y negativos, evaluados con una aproximación de Lanczos de la función gamma.
¿Qué precisión tiene para |x| grande? La serie directa es fiable aproximadamente en \(x \in [-20, 20]\); más allá de ese intervalo, la cancelación en la serie puede reducir la precisión.
