¿Qué es la calculadora de la primera derivada de Softplus?
Esta herramienta calcula la primera derivada de la función de activación Softplus en cualquier valor real de entrada x. La función Softplus, definida como \(\phi(x) = \ln(1 + e^x)\), es una aproximación suave y diferenciable de la función ReLU (Rectified Linear Unit), muy utilizada en redes neuronales. Su derivada es exactamente la función sigmoide logística, lo que la hace especialmente cómoda durante el entrenamiento basado en gradientes.
Cómo utilizarla
Introduce el valor de x en el que quieres evaluar la derivada y pulsa calcular. La herramienta devuelve \(\phi'(x)\), un número que siempre se sitúa estrictamente entre 0 y 1. Las entradas positivas empujan el resultado hacia 1, las negativas lo acercan a 0, y una entrada de exactamente 0 da como resultado 0,5.
La fórmula explicada
Al derivar la función Softplus obtenemos:
$$\frac{d}{dx}\ln\!\left(1 + e^{x}\right) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} = \frac{1}{1 + e^{-x}}.$$
Esta es la sigmoide logística \(\sigma(x)\). Para mantener el cálculo numéricamente estable, la calculadora emplea \(\frac{1}{1 + e^{-x}}\) cuando \(x \geq 0\) y la forma equivalente \(\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}\) cuando \(x < 0\), evitando así el desbordamiento de la exponencial con entradas de gran magnitud.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(x = 0{,}5\). Entonces \(e^{-0,5} = 0{,}6065306597\), por lo que \(1 + e^{-0,5} = 1{,}6065306597\). Por tanto, $$\phi'(0{,}5) = \frac{1}{1{,}6065306597} = 0{,}622459.$$ La derivada queda justo por encima de 0,5 porque la entrada es ligeramente positiva.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la derivada es la función sigmoide? Porque al aplicar la regla de la cadena a \(\ln(1 + e^x)\), la expresión se simplifica algebraicamente hasta \(\frac{1}{1 + e^{-x}}\), la sigmoide logística estándar.
¿Cuál es el rango de \(\phi'(x)\)? Es el intervalo abierto \((0, 1)\). El valor se aproxima a 0 cuando x tiende a menos infinito y a 1 cuando x tiende a más infinito, pero nunca alcanza ninguno de los dos límites.
¿Existe riesgo de dividir por cero? No. Como \(1 + e^{-x}\) siempre es mayor que cero para cualquier x real, el denominador nunca puede ser cero.
