Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la primera derivada de la función sigmoide logística con un parámetro de ganancia (pendiente) a, evaluada en un punto x. La sigmoide es una de las funciones de activación más habituales en las redes neuronales y en la regresión logística, y su derivada es justo lo que necesita la retropropagación (backpropagation) para actualizar los pesos. Como extra, la calculadora también devuelve el propio valor de la sigmoide y la segunda derivada en ese mismo punto.
Cómo usarla
Introduce la ganancia a (por defecto 1) y el punto de evaluación x (por defecto 0,5). Ambos son números reales puros y adimensionales, sin unidades. Pulsa calcular para obtener la primera derivada como resultado principal, con el valor de la sigmoide y la segunda derivada mostrados justo debajo.
La fórmula explicada
La sigmoide es \(\sigma_a(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-a x}}\). Una propiedad muy práctica es que su derivada se puede expresar enteramente en función de su propia salida: $$\sigma_a'(x) = a \cdot \sigma_a(x)\,\bigl(1 - \sigma_a(x)\bigr)$$ La segunda derivada se obtiene como $$\sigma_a''(x) = a^2 \cdot \sigma_a(x)\,\bigl(1 - \sigma_a(x)\bigr)\bigl(1 - 2\,\sigma_a(x)\bigr)$$ Como \(1 + e^{-a x}\) es siempre positivo, la función está definida para cualquier valor real de a y x: nunca hay división por cero.
Ejemplo resuelto
Con \(a = 1\) y \(x = 0{,}5\): \(a \cdot x = 0{,}5\), así que \(e^{-0{,}5} \approx 0{,}60653\) y \(s = \dfrac{1}{1{,}60653} \approx 0{,}622459\). Entonces $$s' = 1 \cdot 0{,}622459 \cdot (1 - 0{,}622459) \approx 0{,}235004$$ y $$s'' = 0{,}235004 \cdot (1 - 2 \cdot 0{,}622459) \approx -0{,}057557$$
Preguntas frecuentes
¿Dónde alcanza la derivada su valor máximo? Cuando \(a > 0\), la pendiente es máxima en \(x = 0\), donde \(s = 0{,}5\) y la derivada vale \(a/4\).
¿Qué ocurre cuando a = 0? La sigmoide se reduce a la constante 0,5, por lo que tanto la primera como la segunda derivada son 0.
¿Para qué sirve el parámetro de ganancia? Un \(|a|\) mayor hace la transición más abrupta (más parecida a una función escalón); un \(|a|\) menor la suaviza. Un valor de a negativo invierte la curva.
