这个计算器能做什么
本工具用于计算带增益（陡峭度）参数 a 的逻辑斯谛 Sigmoid 函数在点 x 处的一阶导数。Sigmoid 是神经网络和逻辑回归中最常用的激活函数之一，而它的导数正是反向传播更新权重时所需要的关键量。除此之外，计算器还会一并给出该点的 Sigmoid 函数值以及二阶导数，方便你一次掌握全部信息。
使用方法
填入增益 a（默认 1）和求值点 x（默认 0.5）。两者都是无量纲的纯实数，没有任何单位。点击计算，主结果即为一阶导数，下方还会列出 Sigmoid 函数值和二阶导数。
公式解析
Sigmoid 函数定义为 $$s_a(x) = \frac{1}{1 + e^{-a x}}$$ 它有一个非常方便的性质：导数可以完全用函数自身的输出来表示，即 $$s'_a(x) = a \cdot s_a(x) \cdot \bigl(1 - s_a(x)\bigr)$$ 二阶导数则为 $$s''_a(x) = a^2 \cdot s_a(x) \cdot \bigl(1 - s_a(x)\bigr) \cdot \bigl(1 - 2 s_a(x)\bigr)$$ 由于 \(1 + e^{-a x}\) 恒为正数，因此对任意实数 a 和 x，函数都有定义，绝不会出现除以零的情况。
计算示例
取 \(a = 1\)、\(x = 0.5\)：此时 \(a \cdot x = 0.5\)，于是 \(e^{-0.5} \approx 0.60653\)，$$s = \frac{1}{1.60653} \approx 0.622459$$ 进而 $$s' = 1 \cdot 0.622459 \cdot (1 - 0.622459) \approx 0.235004$$ $$s'' = 0.235004 \cdot (1 - 2 \cdot 0.622459) \approx -0.057557$$
常见问题
导数在哪里取得最大值？ 当 \(a > 0\) 时，斜率在 \(x = 0\) 处达到峰值，此时 \(s = 0.5\)，导数等于 \(a/4\)。
当 a = 0 时会怎样？ Sigmoid 函数退化为常数 0.5，因此一阶导数和二阶导数都为 0。
为什么要引入增益参数？ \(|a|\) 越大，曲线过渡越陡峭（越接近阶跃函数）；\(|a|\) 越小，过渡越平缓。若 a 取负值，曲线则会上下翻转。
