什么是 Softplus 函数？
Softplus 函数 \(f(x) = \ln(1 + e^{x})\) 是神经网络中常用的 ReLU（修正线性单元）激活函数的一种光滑、可微近似。与在原点处存在尖锐折角的 ReLU 不同，Softplus 处处光滑，且始终严格大于零。本计算器会在你设定的区间内生成 x、f(x) 及其一阶导数的数值表，并同时绘制两条曲线，让你直观看到那条从平缓 S 形过渡到线性斜坡的典型曲线。
使用方法
只需输入三个数值：x 的初始值（第一个横坐标）、步长（相邻点之间的间隔）以及重复次数（要生成多少行数据）。举例来说，初始值取 -5、步长取 0.1、重复 101 次，就会得到从 -5.0 到 +5.0 的 x 序列。计算结果是一张可滚动的数值表，外加一幅同时展示 Softplus 及其导数的图像。
公式详解
Softplus 的表达式为 $$f(x) = \ln(1 + e^{x}).$$ 它的导数是 $$f'(x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} = \frac{1}{1 + e^{-x}},$$ 这恰好就是逻辑斯谛（logistic）sigmoid 函数。当 x 取很大的正值时，\(f(x)\) 趋近于 \(x\)，\(f'(x)\) 趋近于 1；当 x 取很大的负值时，\(f(x)\) 趋近于 0，\(f'(x)\) 也趋近于 0。为了在 x 较大时避免数值溢出，本工具采用数值稳定的写法：$$f(x) = \max(x, 0) + \ln\!\left(1 + e^{-|x|}\right).$$
计算实例
当 \(x = 0\) 时：$$f(0) = \ln(2) = 0.693147, \qquad f'(0) = 0.5.$$ 当 \(x = 1\) 时：$$f(1) = \ln(1 + 2.718282) = 1.313262, \qquad f'(1) = \frac{1}{1 + e^{-1}} = 0.731059.$$ 当 \(x = -1\) 时：$$f(-1) = 0.313262, \qquad f'(-1) = 0.268941.$$ 注意这里有一个恒等式 \(f(x) - f(-x) = x\)，例如 \(1.313262 - 0.313262 = 1\)。
常见问题
为什么要用 Softplus 而不是 ReLU？Softplus 处处光滑，且在任意点都有非零梯度，这有助于基于梯度的优化过程；不过相比之下，ReLU 的计算成本更低。
输出值是否始终为正？是的。对任意有限的 x，都有 \(1 + e^{x} > 1\)，因此 \(\ln(1 + e^{x}) > 0\) 恒成立。
导数代表什么？它表示 Softplus 曲线的斜率，并且等于逻辑斯谛 sigmoid 函数，其取值从 0 单调递增到 1，在 \(x = 0\) 处恰好为 0.5。
