Công cụ này làm gì
Công cụ này tính đạo hàm bậc nhất của hàm sigmoid logistic với tham số khuếch đại (độ dốc) a, tại một điểm x cho trước. Sigmoid là một trong những hàm kích hoạt phổ biến nhất trong mạng nơ-ron và hồi quy logistic, và đạo hàm của nó chính là thứ mà thuật toán lan truyền ngược (backpropagation) cần để cập nhật trọng số. Bên cạnh đó, công cụ còn trả về luôn giá trị của hàm sigmoid và đạo hàm bậc hai tại cùng điểm đó.
Cách sử dụng
Nhập hệ số khuếch đại a (mặc định là 1) và điểm cần tính x (mặc định là 0.5). Cả hai đều là số thực thuần túy, không thứ nguyên và không có đơn vị. Nhấn nút tính để xem đạo hàm bậc nhất ở kết quả chính, cùng với giá trị sigmoid và đạo hàm bậc hai hiển thị bên dưới.
Giải thích công thức
Hàm sigmoid có dạng \(\sigma_a(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-a x}}\). Một tính chất rất tiện lợi là đạo hàm của nó có thể được viết hoàn toàn theo chính giá trị đầu ra của nó:
$$\sigma_a'(x) = a \cdot \sigma_a(x)\,\bigl(1 - \sigma_a(x)\bigr)$$Đạo hàm bậc hai cũng theo đó mà có:
$$\sigma_a''(x) = a^2 \cdot \sigma_a(x)\,\bigl(1 - \sigma_a(x)\bigr)\,\bigl(1 - 2\,\sigma_a(x)\bigr)$$Vì \(1 + e^{-a x}\) luôn dương nên hàm số xác định với mọi giá trị thực của a và x — không bao giờ xảy ra phép chia cho 0.
Ví dụ minh họa
Với \(a = 1\) và \(x = 0.5\): \(a \cdot x = 0.5\), do đó \(e^{-0.5} \approx 0.60653\) và \(s = \dfrac{1}{1.60653} \approx 0.622459\). Khi đó
$$s' = 1 \cdot 0.622459 \cdot (1 - 0.622459) \approx 0.235004$$và
$$s'' = 0.235004 \cdot (1 - 2 \cdot 0.622459) \approx -0.057557$$
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm đạt giá trị lớn nhất ở đâu? Khi \(a > 0\), độ dốc đạt cực đại tại \(x = 0\), nơi \(s = 0.5\) và đạo hàm bằng \(a/4\).
Điều gì xảy ra khi a = 0? Hàm sigmoid suy biến thành hằng số 0.5, nên cả đạo hàm bậc nhất lẫn đạo hàm bậc hai đều bằng 0.
Tại sao lại dùng tham số khuếch đại? \(|a|\) càng lớn thì vùng chuyển tiếp càng dốc (gần với hàm bước nhảy); \(|a|\) càng nhỏ thì chuyển tiếp càng mượt. Giá trị a âm sẽ lật ngược đường cong.
