Công cụ này làm gì
Công cụ lập một bảng (kèm đồ thị đường) các đạo hàm bậc nhất của hàm Kelvin loại một, ký hiệu là \(\operatorname{ber}_v'(x)\) và \(\operatorname{bei}_v'(x)\), trên một khoảng giá trị x với mọi bậc thực v. Các hàm Kelvin xuất hiện trong kỹ thuật điện (hiệu ứng bề mặt — skin effect — trong dây dẫn), trong dẫn nhiệt và trong phân tích dòng chảy nhớt dao động. Đạo hàm của chúng xuất hiện mỗi khi bạn vi phân các biểu đồ trường hoặc mật độ dòng điện được mô tả bằng hàm Kelvin.
Cách sử dụng
Nhập bậc v (mặc định là 0), giá trị khởi đầu của x, bước nhảy giữa các giá trị x liên tiếp và số lần lặp (số dòng). Công cụ sinh ra các giá trị x theo công thức \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) với \(i = 0, 1, \dots, \text{count}-1\), tính cả hai đạo hàm tại mỗi điểm, rồi hiển thị một bảng có thể cuộn cùng một đồ thị so sánh hai đường cong.
Giải thích công thức
Hàm Kelvin được định nghĩa bởi $$\operatorname{ber}_v(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v(x) = J_v\!\left(x\,e^{3\pi i/4}\right).$$ Đặt \(z = x\,e^{3\pi i/4}\) và dùng hệ thức đạo hàm của hàm Bessel \(J_v'(z) = \tfrac{1}{2}\left(J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right)\) kết hợp với quy tắc chuỗi (\(dz/dx = e^{3\pi i/4}\)), ta được $$\operatorname{ber}_v'(x) + i\cdot\operatorname{bei}_v'(x) = e^{3\pi i/4}\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\left[J_{v-1}(z) - J_{v+1}(z)\right].$$ Phần thực là \(\operatorname{ber}_v'(x)\); phần ảo là \(\operatorname{bei}_v'(x)\). Các giá trị Bessel được tính bằng cách lấy tổng chuỗi lũy thừa trong số học phức, mỗi số hạng được suy ra từ số hạng trước theo tỉ số $$t_{m+1} = t_m\cdot\frac{-(z/2)^2}{(m+1)(v+m+1)}$$ nhằm đảm bảo tính ổn định.
Ví dụ minh họa
Với \(v = 0\) và \(x = 1\), chuỗi phần thực cho kết quả \(\operatorname{ber}_0'(1) \approx -0{,}06245\) và \(\operatorname{bei}_0'(1) \approx 0{,}49740\). Tại \(x = 0\), cả hai đạo hàm đều bằng 0 khi \(v = 0\).
Câu hỏi thường gặp
Công cụ có xử lý được x âm không? Có. Chuỗi Bessel phức được sử dụng, nên khoảng mặc định bắt đầu từ \(x = -10\) được hỗ trợ đầy đủ.
Được phép dùng những bậc v nào? Mọi số thực, kể cả bậc không nguyên và bậc âm, được tính bằng phép xấp xỉ gamma Lanczos.
Độ chính xác với |x| lớn ra sao? Chuỗi trực tiếp đáng tin cậy trong khoảng \(x \in [-20, 20]\); vượt ra ngoài khoảng này, hiện tượng triệt tiêu trong chuỗi có thể làm giảm độ chính xác.
