Máy Tính Fibonacci

Nhập phép tính

Vị trí số hạng (n)

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Sum of Fibonacci Terms F(0) to F(n)

   

   Sum of the first terms equals F(n+2) - 1

Kết quả

Fibonacci number F(10)

55

giá trị của số hạng thứ n

Vị trí số hạng (n)	10
Tổng F(0)…F(n)	143
Ước lượng theo Binet (tỷ lệ vàng)	55,003636

Dãy Fibonacci là gì?

Dãy Fibonacci là một trong những quy luật nổi tiếng nhất của toán học. Dãy bắt đầu bằng 0 và 1, sau đó mỗi số tiếp theo bằng tổng của hai số liền trước: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, và cứ thế tiếp diễn. Máy tính Fibonacci này giúp bạn tìm giá trị của số hạng thứ n, đồng thời tính tổng lũy tiến của tất cả các số hạng cho đến vị trí đó.

Dãy Fibonacci tăng bằng cách cộng hai số hạng trước đó, tạo nên đường xoắn ốc nổi tiếng.

Cách sử dụng máy tính

Nhập vị trí số hạng n (chỉ số của số bạn muốn tìm, bắt đầu từ 0) rồi nhấn tính. Công cụ sẽ trả về F(n), tổng lũy tiến F(0)+F(1)+…+F(n), và giá trị ước lượng theo công thức Binet dựa trên tỷ lệ vàng. Máy hỗ trợ giá trị đến \(n = 90\) với độ chính xác số nguyên tuyệt đối.

Giải thích công thức

Có hai cách cho ra cùng một kết quả. Cách đơn giản nhất là quy tắc đệ quy \(F(n) = F(n-1) + F(n-2)\). Cách thanh lịch hơn là công thức Binet, sử dụng tỷ lệ vàng \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\):

$$F_{\text{n}} = \frac{\varphi^{\text{n}} - (1-\varphi)^{\text{n}}}{\sqrt{5}}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Vì số hạng \(\psi^{\text{n}}\) co dần về 0, nên F(n) rất gần với \(\varphi^{\text{n}}/\sqrt{5}\), do đó chỉ cần làm tròn đến số nguyên gần nhất là ta có số Fibonacci chính xác. Máy tính này tính kết quả theo phương pháp lặp để đạt độ chính xác hoàn hảo, đồng thời hiển thị giá trị ước lượng theo Binet để bạn so sánh.

Công thức Binet sử dụng tỉ lệ vàng \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Ví dụ minh họa

Với \(n = 10\): dãy số là 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Vậy \(F(10) = 55\). Tổng của mười một số hạng đầu tiên (từ F(0) đến F(10)) bằng

$$\sum_{i=0}^{10} F_i = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$$

Giá trị ước lượng theo Binet \(\varphi^{10}/\sqrt{5} \approx 55{,}0036\), làm tròn lại bằng 55.

Câu hỏi thường gặp

Dãy bắt đầu từ 0 hay từ 1? Công cụ này dùng quy ước chuẩn \(F(0)=0\) và \(F(1)=1\), nên vị trí 0 sẽ cho kết quả là 0.

Vì sao giới hạn n ở mức 90? F(90) vào khoảng \(2{,}88 \times 10^{18}\), gần đến giới hạn của phép tính số nguyên 64-bit chính xác. Vượt quá ngưỡng này, sai số làm tròn dấu phẩy động có thể gây ra kết quả sai.

Mối liên hệ với tỷ lệ vàng là gì? Tỷ số của hai số Fibonacci liên tiếp \(F(n+1)/F(n)\) hội tụ về \(\varphi \approx 1{,}6180339887\) khi n càng lớn.