Số điều hòa là gì?
Số điều hòa thứ n, ký hiệu \(H(n)\), là tổng các nghịch đảo của n số nguyên dương đầu tiên: $$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$ Đây chính là tổng riêng phần của chuỗi điều hòa nổi tiếng — một trong những chuỗi phân kỳ chậm quan trọng bậc nhất trong toán học. Dù mỗi số hạng được cộng thêm ngày càng nhỏ, tổng vẫn tăng lên vô hạn khi n lớn dần — chỉ là tăng rất chậm, gần như tỉ lệ với logarit tự nhiên của n.
Cách sử dụng máy tính
Hãy nhập một số nguyên dương n (số lượng số hạng), máy tính sẽ cộng \(\frac{1}{k}\) với k chạy từ 1 đến n. Kết quả trả về là giá trị thập phân chính xác của \(H(n)\). Bạn có thể so sánh với công thức xấp xỉ \(H(n) \approx \ln(n) + \gamma\), trong đó \(\gamma \approx 0{,}5772\) là hằng số Euler–Mascheroni; phép ước lượng này càng chính xác khi n càng lớn.
Giải thích công thức
Công thức định nghĩa là $$H(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$ với k từ 1 đến n. Không có công thức đóng đơn giản nào, nên giá trị được tính lần lượt theo từng số hạng. Ví dụ: $$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0{,}5 + 0{,}333\ldots + 0{,}25 = 2{,}08333\ldots$$
Ví dụ minh họa
Với n = 5: $$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0{,}5 + 0{,}333333 + 0{,}25 + 0{,}2 = 2{,}283333$$ Máy tính sẽ cho ra kết quả này ngay lập tức.
Câu hỏi thường gặp
Chuỗi điều hòa có hội tụ không? Không. Chuỗi điều hòa vô hạn phân kỳ, vì vậy \(H(n)\) cứ tăng dần khi n tăng, dù tăng cực kỳ chậm.
H(1) bằng bao nhiêu? \(H(1) = 1\), vì tổng chỉ có duy nhất một số hạng là \(\frac{1}{1}\).
Vì sao gọi là "điều hòa"? Tên gọi này bắt nguồn từ âm nhạc: bước sóng của các họa âm (overtone) trên một sợi dây rung lần lượt bằng 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... so với bước sóng cơ bản.
