調和数とは？
第n調和数（\(H(n)\) と表記）とは、最初の n 個の正の整数の逆数をすべて足し合わせた値、すなわち \(H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\) のことです。これは数学で最も有名な「ゆっくり発散する級数」の一つである調和級数の部分和にあたります。足していく各項はどんどん小さくなっていきますが、n を大きくすると合計は上限なくいくらでも増え続けます。ただしその増え方は非常に緩やかで、おおよそ n の自然対数に比例する程度です。
この計算ツールの使い方
項数を表す正の整数 n を入力すると、\(k = 1\) から \(k = n\) までの \(\frac{1}{k}\) を合計します。出力されるのは \(H(n)\) の正確な小数値です。さらに、近似式 \(H(n) \approx \ln(n) + \gamma\)（\(\gamma \approx 0.5772\) はオイラー＝マスケローニ定数）と比較することもできます。この近似は n が大きくなるほど非常に高い精度になります。
計算式の解説
定義式は次のとおりです。
$$H_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$単純な閉じた式（クローズドフォーム）は存在しないため、値は項ごとに順番に足し合わせて求めます。たとえば次のようになります。
$$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 = 2.08333\ldots$$
計算例
\(n = 5\) の場合：
$$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0.5 + 0.333333 + 0.25 + 0.2 = 2.283333$$この計算ツールはこの値を直接返します。
よくある質問
調和級数は収束しますか？ いいえ。無限調和級数は発散します。そのため \(H(n)\) は n が大きくなるにつれて増え続けますが、その増加は極めて緩やかです。
\(H(1)\) はいくつですか？ \(H(1) = 1\) です。項が \(\frac{1}{1}\) の一つだけだからです。
なぜ「調和」と呼ばれるのですか？ この名前は音楽に由来します。弦を振動させたときに生じる倍音の波長が、基本波長の \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \ldots\) になっているためです。
