Что такое гармоническое число?
n-е гармоническое число, которое обозначают \(H(n)\), — это сумма обратных величин первых n натуральных чисел: \(H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\). По сути это частичная сумма знаменитого гармонического ряда — одного из важнейших медленно расходящихся рядов в математике. Хотя каждое следующее слагаемое становится всё меньше, общая сумма растёт неограниченно с увеличением n — просто очень медленно, примерно как натуральный логарифм от n.
Как пользоваться калькулятором
Введите целое положительное число n (количество слагаемых), и калькулятор сложит \(\frac{1}{k}\) для k от 1 до n. В результате вы получите точное десятичное значение \(H(n)\). Его можно сравнить с приближением \(H(n) \approx \ln(n) + \gamma\), где \(\gamma \approx 0{,}5772\) — постоянная Эйлера — Маскерони. Эта оценка становится очень точной при больших n.
Разбор формулы
Основная формула выглядит так: $$H_{\text{n}} = \sum_{k=1}^{\text{n}} \frac{1}{k}$$ Простого замкнутого выражения для неё не существует, поэтому значение вычисляется слагаемое за слагаемым. Например, $$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0{,}5 + 0{,}333\ldots + 0{,}25 = 2{,}08333\ldots$$
Пример расчёта
Для n = 5: $$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0{,}5 + 0{,}333333 + 0{,}25 + 0{,}2 = 2{,}283333$$ Калькулятор выдаёт этот результат сразу.
Частые вопросы
Сходится ли гармонический ряд? Нет. Бесконечный гармонический ряд расходится, поэтому \(H(n)\) продолжает расти с увеличением n, хотя и крайне медленно.
Чему равно H(1)? \(H(1) = 1\), ведь сумма состоит из единственного слагаемого — \(\frac{1}{1}\).
Почему ряд называется «гармоническим»? Название пришло из музыки: длины волн обертонов колеблющейся струны составляют 1, 1/2, 1/3, 1/4, … от длины основной волны.
