조화수란?
n번째 조화수는 \(H(n)\)으로 표기하며, 1부터 n까지 양의 정수의 역수를 모두 더한 값입니다. 즉 $$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$ 입니다. 이는 수학에서 가장 유명한 급수 중 하나인 조화급수의 부분합으로, 발산 속도가 매우 느린 대표적인 급수입니다. 더해지는 항은 점점 작아지지만, n이 커질수록 합은 한없이 커집니다. 다만 그 증가 속도는 매우 느려서 대략 n의 자연로그(\(\ln n\)) 정도로 늘어납니다.
계산기 사용 방법
항의 개수에 해당하는 양의 정수 n을 입력하면, 계산기가 \(k = 1\)부터 \(k = n\)까지 \(\frac{1}{k}\)를 모두 더해 줍니다. 결과는 \(H(n)\)의 정확한 소수 값입니다. 이 값을 근사식 $$H(n) \approx \ln(n) + \gamma$$와 비교해 볼 수도 있는데, 여기서 \(\gamma \approx 0.5772\)는 오일러–마스케로니 상수입니다. 이 근사값은 n이 커질수록 매우 정확해집니다.
공식 풀이
정의 공식은 \(k = 1\)부터 n까지 $$H(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$ 입니다. 간단한 닫힌 형식(closed form)이 존재하지 않기 때문에, 값은 한 항씩 차례로 더해 계산합니다. 예를 들어 $$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 = 2.08333\ldots$$ 이 됩니다.
예제 풀이
\(n = 5\)인 경우: $$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0.5 + 0.333333 + 0.25 + 0.2 = 2.283333$$ 계산기는 이 값을 바로 알려 줍니다.
자주 묻는 질문
조화급수는 수렴하나요? 아닙니다. 무한 조화급수는 발산하므로, n이 커질수록 \(H(n)\)도 계속 커집니다. 다만 증가 속도는 극도로 느립니다.
H(1)은 얼마인가요? \(H(1) = 1\)입니다. 합에 \(\frac{1}{1}\)이라는 단 하나의 항만 있기 때문입니다.
왜 '조화(harmonic)'라고 부르나요? 이 이름은 음악에서 유래했습니다. 진동하는 현이 만들어 내는 배음의 파장이 기본 파장의 \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\) 배에 해당하기 때문입니다.
