什麼是調和數？
第 n 個調和數記作 \(H(n)\)，定義為前 n 個正整數倒數的總和：$$H(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.$$它是著名「調和級數」的部分和，也是數學中最重要的緩慢發散級數之一。雖然每多加一項，數值就越來越小，但只要 n 不斷增大，總和也會無上限地持續成長——只是速度非常慢，大致與 n 的自然對數同步增加。
如何使用這個計算機
輸入一個正整數 n（也就是項數），計算機就會把 k 從 1 累加到 n 的 \(1/k\) 加總起來，得到 \(H(n)\) 的精確小數值。你也可以拿它和近似公式 \(H(n) \approx \ln(n) + \gamma\) 做比較，其中 \(\gamma \approx 0.5772\) 是歐拉–馬斯刻若尼常數（Euler–Mascheroni constant）；當 n 越大時，這個估計值就越準確。
公式說明
調和數的定義公式為 $$H(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.$$由於它沒有簡單的封閉形式（closed form），因此只能逐項相加求值。舉例來說：$$H(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 + 0.5 + 0.333\ldots + 0.25 = 2.08333\ldots$$
實例演算
當 n = 5 時：$$H(5) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = 1 + 0.5 + 0.333333 + 0.25 + 0.2 = 2.283333.$$計算機會直接回傳這個結果。
常見問題
調和級數會收斂嗎？不會。無窮調和級數是發散的，所以隨著 n 增大，\(H(n)\) 會持續成長，只是速度極為緩慢。
H(1) 等於多少？\(H(1) = 1\)，因為這個總和只有一項，也就是 \(1/1\)。
為什麼叫做「調和」數？這個名稱源自音樂：振動弦的各個泛音波長，分別是基音波長的 1、1/2、1/3、1/4……，正好對應這些倒數。
