五數綜合計算器－最小值、Q1、中位數、Q3、最大值

資料筆數	10
輸入資料	12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40
排序後資料	12.0, 15.0, 18.0, 20.0, 22.0, 25.0, 28.0, 30.0, 35.0, 40.0

什麼是五數綜合？

五數綜合（Five-Number Summary）是一種快速描述資料集中趨勢與離散程度的統計摘要，只用五個數值就能呈現資料樣貌：最小值、第一四分位數（Q1）、中位數、第三四分位數（Q3）以及最大值。這五個數會把資料平均切成四等分，讓你一眼看出數值集中在哪裡、範圍有多大，以及分布是否偏向某一側。本計算器適用於任何一組數字，廣泛應用於統計課程、資料分析與商業報表，是國際通用的統計工具。

$$\text{5-Number Summary} = \left\{\ \min,\ Q_1,\ \tilde{x},\ Q_3,\ \max\ \right\} \text{ of } \text{Data Set}$$

標出五個值的數線：最小值、Q1、中位數、Q3 和最大值 — 五數概括將排序後的資料分為最小值、Q1、中位數、Q3 和最大值。

計算器使用方法

只要把數值用逗號分開輸入即可，例如 4, 8, 15, 16, 23, 42，工具便會立即回傳全部五個摘要數值。輸入的先後順序完全不影響結果，計算前系統會自動將資料由小到大排序。

最小值：資料中最小的數值。
Q1（第一四分位數）：下半部資料的中位數，代表有 25% 的數值落在它以下。
中位數（Q2）：正中間的數值，代表有 50% 的數值落在它以下。
Q3（第三四分位數）：上半部資料的中位數，代表有 75% 的數值落在它以下。
最大值：資料中最大的數值。

五個數值是如何算出來的

首先，資料會由小到大排序，最小值與最大值就是這串數列的頭尾兩端。中位數則是正中間的數值（若資料筆數為偶數，就取中間兩個數的平均）。Q1 是下半部資料的中位數，Q3 則是上半部資料的中位數。$Q_1$ 與 $Q_3$ 之間的距離稱為四分位距（$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$），用來衡量中間 50% 資料的離散程度，也有助於辨識離群值。

$$\begin{aligned} \text{Sorted: } & x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)} \text{ from } \text{Data Set} \\ \min &= x_{(1)} \\ Q_1 &= P_{25} \\ \tilde{x} &= P_{50} \\ Q_3 &= P_{75} \\ \max &= x_{(n)} \\ \text{IQR} &= Q_3 - Q_1 \end{aligned}$$

顯示最小值、Q1、中位數、Q3 和最大值的盒鬚圖 — 盒鬚圖呈現五數概括，盒子從 Q1 延伸到 Q3。

實際範例

以這組資料為例：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14（共七個數值）。

最小值 = 2，最大值 = 14
中位數 = 8（第四個數值）
下半部 = 2, 4, 6 → Q1 = 4
上半部 = 10, 12, 14 → Q3 = 12

因此這組資料的五數綜合為 2、4、8、12、14，四分位距 IQR 為 $12 - 4 = 8$。

解讀您的五數摘要

五數摘要包括最小值、第一四分位數 ($Q_1$)、中位數 ($\tilde{x}$)、第三四分位數 ($Q_3$) 和最大值，它將已排序的資料分為四個數量相等的四分位。將這五個錨點一起閱讀可以告訴您資料中心在哪裡、它的分佈有多廣、以及它是否向某一側傾斜。

IQR：中間 50% 的分佈

四分位距是四分位數之間的距離：

$$\text{四分位距} = Q_3 - Q_1$$

它捕捉您的值中心 50% 的分佈，並忽略極端尾部，因此它遠比完整範圍 $(\max-\min)$ 更加穩健。相對於範圍較小的 IQR 意味著大多數值緊密集中，而一些離群值拉伸兩端。

比較間隙以檢測偏度

比較下間隙 $(Q_1-\min)$ 與上間隙 $(\max-Q_3)$，以及內部半部分 $(\tilde{x}-Q_1)$ 與 $(Q_3-\tilde{x})$：

大致對稱：兩個間隙相似，中位數位於 IQR 的中間附近。
右偏（正）：上間隙 $(\max-Q_3)$ 大得多；中位數更接近 $Q_1$。
左偏（負）：下間隙 $(Q_1-\min)$ 大得多；中位數更接近 $Q_3$。

用於離群值的 1.5×IQR 規則

常見的規則標記落在圍欄外的值：

$$\text{下圍欄}=Q_1-1.5\times\text{四分位距},\qquad \text{上圍欄}=Q_3+1.5\times\text{四分位距}$$

任何低於下圍欄或高於上圍欄的資料點都是值得檢查的候選離群值。您可以通過 IQR 離群值檢查來自動應用此規則。

盒形圖如何對應到摘要

盒形圖是這五個數字的直接圖像：盒子從 $Q_1$ 跨越到 $Q_3$（其長度是 IQR），盒子內的線標記中位數，鬚線延伸到圍欄內最小和最大值。超出鬚線的點單獨繪製為離群值。因此，盒子顯示中間 50%，盒子內偏離中心的中位線是您視覺上檢測偏度的提示。

關鍵術語與定義

最小值: 資料集中的最小值，是範圍的下端。
第一四分位數 ($Q_1$): 第 25 百分位數：25% 的資料位於或低於此值。它標記盒形圖中盒子的下邊。
中位數 ($Q_2$, $\tilde{x}$): 第 50 百分位數，是已排序資料的中間值（當計數為偶數時，是兩個中間值的平均值）。一半的資料位於它下方，一半位於它上方。
第三四分位數 ($Q_3$): 第 75 百分位數：75% 的資料位於或低於此值。它標記盒子的上邊。
最大值: 資料集中的最大值，是範圍的上端。
百分位數: 一個值，低於它的觀測值的給定百分比；例如，第 25 百分位數是具有 25% 或以下資料的點。
四分位距 (IQR): 差值 $Q_3-Q_1$，測量資料中心 50% 的分佈。請參閱 IQR 計算機進行重點計算。
盒形圖（盒鬚圖）: 一種圖表，顯示五數摘要：從 $Q_1$ 到 $Q_3$ 的盒子，帶有中位線、延伸到極端非離群值的鬚線，以及任何離群值繪製為單獨的點。