什麼是二補數計算機？
二補數計算機可在十進位、二進位與十六進位之間互相轉換，同時呈現電腦內部是如何表示負數的。二補數（Two's Complement）是現今幾乎所有處理器用來儲存有號整數的標準方法，因此無論是程式設計師、電子工程系學生，或任何接觸數位邏輯的人，都有必要徹底搞懂它。這款工具讓你以任何進位制輸入數值，挑選位元寬度（8、16 或 32 位元），就能即時看到二補數的表示法以及對應的十進位值。
計算機怎麼用？
- 在輸入欄位中填入你的數字——支援十進位、二進位或十六進位。
- 視需要選擇輸入值的進位制。
- 選定位元寬度：8 位元、16 位元或 32 位元。
- 查看結果：二進位、十六進位與有號十進位值會自動顯示出來。
位元寬度之所以重要，是因為它決定了可儲存的數值範圍。舉例來說，8 位元有號整數可表示 -128 到 127；16 位元則涵蓋 -32,768 到 32,767。
公式解析
要求出一個二進位數的二補數，只需兩個步驟：
- 把每個位元反相（0 變成 1，1 變成 0），這就是一補數（One's Complement）。
- 在結果上加 1。
最左邊的位元扮演符號位的角色：0 代表正數，1 代表負數。若要把負的十進位數轉成二補數，公式為 \(2^{n} + \text{數值}\)，其中 \(n\) 為位元寬度。
$$\text{Twos Complement} = \left(\sim \text{Number}_{\,2}\right) + 1 \pmod{2^{\text{Bit Width}}}$$
實際範例
把 -5 轉換成 8 位元二補數：
- 先寫出 +5 的二進位：
0000 0101。 - 將各位元反相：
1111 1010。 - 加 1：
1111 1011。
因此 -5 會被儲存成 1111 1011，換算成十六進位即 FB。驗算一下：\(251 - 256 = -5\)（無號值）。
按位寬分類的有符號整數範圍
二補數是電腦表示有符號整數的標準方式。對於給定的位寬 \(n\)，一個位元用作符號位元，因此可表示的有符號範圍是 \(-2^{n-1}\) 到 \(2^{n-1}-1\)，而相同位元的無符號解釋涵蓋 \(0\) 到 \(2^{n}-1\)。所有算術運算都以模 \(2^{n}\) 進行換行。
| 位寬 \(n\) | 有符號最小值 \(-2^{n-1}\) | 有符號最大值 \(2^{n-1}-1\) | 無符號最大值 \(2^{n}-1\) | 模數 \(2^{n}\) |
|---|---|---|---|---|
| 8 | -128 | 127 | 255 | 256 |
| 16 | -32,768 | 32,767 | 65,535 | 65,536 |
| 32 | -2,147,483,648 | 2,147,483,647 | 4,294,967,295 | 4,294,967,296 |
| 64 | -9,223,372,036,854,775,808 | 9,223,372,036,854,775,807 | 18,446,744,073,709,551,615 | 18,446,744,073,709,551,616 |
例如，十進位 5 在 8 位元形式中的二補數是 251（當作無符號位元組讀取時），它表示有符號值 \(-5\)。
常見 8 位元值的十進位-二進位-十六進位參考表
下表將代表性的有符號十進位值對應到其 8 位元二補數二進位和十六進位形式。負數的最高有效位設為 1。若要對值進行否定，請反轉所有 8 個位元並加 1。
| 有符號十進位 | 8 位元二進位 | 十六進位 | 無符號值 |
|---|---|---|---|
| -128 | 1000 0000 | 0x80 | 128 |
| -64 | 1100 0000 | 0xC0 | 192 |
| -5 | 1111 1011 | 0xFB | 251 |
| -1 | 1111 1111 | 0xFF | 255 |
| 0 | 0000 0000 | 0x00 | 0 |
| 1 | 0000 0001 | 0x01 | 1 |
| 5 | 0000 0101 | 0x05 | 5 |
| 64 | 0100 0000 | 0x40 | 64 |
| 127 | 0111 1111 | 0x7F | 127 |
若要獨立驗證二進位形式，您可以將 8 位元模式 11111011 轉換回十進位，作為無符號位元組等於 251（解釋為有符號時為 \(-5\)）。
關鍵術語與定義
- 位寬
- 用於儲存整數的二進位數字個數（通常為 8、16、32 或 64）。它確定了模數 \(2^{n}\) 和可表示值的範圍。
- 符號位元
- 指示有符號數是負數（1）還是非負數（0）的單一位元。在二補數中，它是最高有效位。
- 最高有效位（MSB）
- 二進位數中最左邊、最高值的位元。在有符號二補數值中，MSB 兼作符號位元。
- 一補數
- 數字的按位反轉 — 每個 0 變成 1，每個 1 變成 0（\(\overline{B}\)）。它是形成二補數前加 1 的中間步驟。
- 二補數
- 主要的有符號整數編碼：通過反轉所有位元並加 1 來否定值，即 \(\overline{B}+1 \pmod{2^{n}}\)。它給出零的單一表示法，並讓相同的硬體執行有符號和無符號數的加法。
- 溢位／換行
- 當結果超過位寬的可表示範圍時發生的情況；該值以模 \(2^{n}\) 進行換行。例如，將 8 位元最大值 127 加 1 會換行為 -128。
- 有符號與無符號整數
- 有符號整數可以使用二補數表示負數（範圍 \(-2^{n-1}\) 到 \(2^{n-1}-1\)）；無符號整數將每個位元模式視為非負數（範圍 \(0\) 到 \(2^{n}-1\)）。位元相同 — 只有解釋方式不同。
常見問題
為什麼電腦要使用二補數？因為加法與減法可以共用同一套電路，而且零只有一種表示方式，不像符號數值法（sign-magnitude）或一補數那樣會出現兩種零。
如果我的數字超出位元寬度會怎樣？數值會溢位（overflow）並繞回（wrap around），產生出乎意料的結果。改用更寬的位元寬度即可避免這種情況。
怎麼轉換回一般的十進位？如果符號位是 1，就再取一次二補數並加上負號；如果符號位是 0，直接當成一般的二進位數來讀即可。
