什麼是向量大小計算器？
向量大小計算器能根據向量的各個分量，算出向量的長度。無論你處理的是簡單的 2D 位置向量，還是物理、機器學習或資料分析中的高維向量，這個工具都能即時計算出向量的大小（也稱為範數或模）。它支援 2D 至 5D 的向量，你可以先輸入 X 與 Y，再依需要加入選填的 Z、W、V 分量。
如何使用本計算器
- 選擇你需要的維度數（2D、3D、4D 或 5D）。
- 輸入 X 與 Y 分量。
- 若選了更高的維度，再依需要填入 Z、W、V。
- 讀取向量大小——計算器會自動回傳結果。
任何分量都可以填入正值或負值；向量大小永遠是零或正數。
公式說明
向量的大小，等於各分量平方和的平方根。這正是畢氏定理（勾股定理）向任意維度的直接延伸：
- 2D：\(\|\vec{v}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)
- 3D：\(\|\vec{v}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)
- nD：\(\|\vec{v}\| = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}}\)
每多一個維度，就只是在平方根裡多加一個平方項，因此相同的邏輯能從 2D 一路順暢地延伸到 5D。
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範例演算
假設你有一個 3D 向量，分量為 X = 3、Y = 4、Z = 12。各自平方後得到 9、16 與 144，相加為 169。169 的平方根為 13，因此這個向量的大小恰好是 13。這個漂亮的結果，正是廣為人知的畢氏四元數組。
$$\|\vec{v}\| = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 12^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
常見問題
向量大小代表什麼？它代表向量的直線長度——從尾端（原點）到頭端的距離，與方向無關。
向量大小會是負數嗎？不會。由於每個分量都會先平方再相加，平方根裡的數值永遠不會是負的，所以向量大小一定是零或正數。
如果所有分量都是零呢？那麼向量大小為零，這稱為零向量——它有長度，卻沒有明確的方向。
為什麼要支援到 5D？高維向量在機器學習、統計學與工程中很常見，因為資料點往往帶有許多特徵。相同的公式在任意維度都成立。
