벡터 크기 계산기란?
벡터 크기 계산기는 벡터의 각 성분으로부터 벡터의 길이를 구해 주는 도구입니다. 간단한 2차원 위치 벡터든, 물리학·머신러닝·데이터 분석에서 다루는 고차원 벡터든, 이 계산기는 크기(노름 또는 모듈러스라고도 부릅니다)를 즉시 계산해 줍니다. 2D부터 5D까지 지원하므로 X와 Y 값을 입력한 뒤 필요에 따라 Z, W, V 성분을 추가로 넣을 수 있습니다.
계산기 사용법
- 필요한 차원을 선택합니다 (2D, 3D, 4D 또는 5D).
- X와 Y 성분을 입력합니다.
- 더 높은 차원을 선택했다면 Z, W, V 값을 차례로 채웁니다.
- 크기를 확인하세요 — 계산기가 결과를 자동으로 보여 줍니다.
각 성분에는 양수와 음수를 모두 사용할 수 있으며, 크기는 항상 0 이상의 값으로 나타납니다.
공식 풀이
벡터의 크기는 각 성분을 제곱하여 모두 더한 값의 제곱근입니다. 이는 피타고라스 정리를 임의의 차원으로 확장한 것에 지나지 않습니다.
- 2D: \(\|\vec{v}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)
- 3D: \(\|\vec{v}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)
- nD: \(\|\vec{v}\| = \sqrt{x_1^{2} + x_2^{2} + \ldots + x_n^{2}}\)
차원이 하나 늘어날 때마다 제곱근 안에 제곱항이 하나씩 추가될 뿐입니다. 그래서 2D부터 5D까지 동일한 원리가 깔끔하게 그대로 적용됩니다.
예제 풀이
성분이 X = 3, Y = 4, Z = 12인 3차원 벡터가 있다고 해 봅시다. 각각을 제곱하면 9, 16, 144가 됩니다. 이를 모두 더하면 169이고, 169의 제곱근은 13이므로 벡터의 크기는 정확히 13입니다. 이는 잘 알려진 피타고라스 4수(Pythagorean quadruple)에 해당하는 깔끔한 결과입니다.
$$\|\vec{v}\| = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 12^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
자주 묻는 질문
벡터의 크기는 무엇을 나타내나요? 벡터의 직선 길이, 즉 시작점(원점)에서 끝점까지의 거리를 방향과 무관하게 나타냅니다.
크기가 음수가 될 수 있나요? 아닙니다. 각 성분을 더하기 전에 먼저 제곱하므로 제곱근 안의 값은 결코 음수가 되지 않습니다. 따라서 크기는 항상 0 이상입니다.
모든 성분이 0이면 어떻게 되나요? 크기는 0입니다. 이를 영벡터라고 하며, 길이는 있지만 방향이 정의되지 않은 벡터입니다.
왜 5D까지 지원하나요? 고차원 벡터는 머신러닝, 통계학, 공학 등에서 흔히 쓰입니다. 데이터 한 점이 여러 개의 특성(feature)을 갖는 경우가 많기 때문입니다. 동일한 공식이 모든 차원에서 그대로 작동합니다.
