지수 감소 계산기란?
지수 감소 계산기는 어떤 값이 매 기간마다 일정한 비율로 줄어들 때, 정해진 시간이 지난 후 얼마나 남는지를 계산해 줍니다. 지수 감소는 일정한 '양'이 아니라 일정한 '비율'로 값이 줄어드는 모든 현상을 설명합니다. 대표적인 예로는 방사성 동위원소의 붕괴, 물체의 냉각, 혈중 약물 농도의 감소, 자산의 감가상각, 그리고 고객 수의 점진적 이탈 등이 있습니다. 이 모든 상황의 바탕에 깔린 수학 원리는 동일하기 때문에, 이 도구 하나로 어떤 경우든 계산할 수 있습니다.
사용 방법
- 초기값 (N₀): 시작 시점의 양을 입력하세요 — 그램, 원, 사용자 수 등 어떤 단위든 가능합니다.
- 감소율 (r): 매 기간마다 줄어드는 비율을 백분율로 입력하세요(예: 연 5%).
- 시간 (t): 감소율과 동일한 시간 단위를 사용해, 경과한 기간의 수를 입력하세요.
계산기는 처음에 입력한 것과 같은 단위로 잔존량을 알려줍니다. 감소율과 시간의 단위를 반드시 일치시키세요 — 감소율이 '연' 단위라면 시간도 '년' 단위여야 합니다.
공식 설명
이 계산기는 표준 지수 감소 방정식을 사용합니다:
$$N(t) = N_0 \cdot \left(1 - r\right)^{t}$$- \(N(t)\) = 시간 \(t\) 경과 후 남은 양
- \(N_0\) = 초기값
- \(r\) = 소수로 표현한 감소율 (5% = 0.05)
- \(t\) = 경과한 기간의 수
매 기간마다 직전의 값에 \((1 - r)\)을 곱하므로 감소는 복리처럼 누적됩니다. 기준이 되는 값 자체가 작아지면서 절대적인 감소량은 점점 줄어들지만, 줄어드는 비율은 항상 일정하게 유지됩니다.
계산 예시
2,000만 원짜리 기계가 매년 12%씩 감가상각된다고 가정해 봅시다. 4년 후:
$$N(4) = 20{,}000{,}000 \times (1 - 0.12)^{4} = 20{,}000{,}000 \times (0.88)^{4} = 20{,}000{,}000 \times 0.5997 \approx \textbf{11{,}994{,}000원}$$즉, 4년이 지나면 약 1,199만 4천 원의 가치가 남습니다.
자주 묻는 질문
감소율과 붕괴 상수의 차이는 무엇인가요? 여기서 사용하는 감소율(\(r\))은 기간당 백분율입니다. 반면 붕괴 상수(\(\lambda\))는 연속 공식 \(N = N_0 e^{-\lambda t}\)에 등장합니다. 이 계산기는 더 간단한 이산적 백분율 모델을 사용합니다.
반감기 문제에도 사용할 수 있나요? 네. 반감기란 남은 양이 처음의 50%가 되는 시점을 말합니다. 감소율과 시간을 조정해 모델링하거나, 정확한 결과가 필요하다면 전용 반감기 계산기를 사용하세요.
값이 줄어드는 게 아니라 늘어난다면 어떻게 하나요? 그럴 때는 \((1 - r)\) 대신 \((1 + r)\)을 사용하는 증가 계산기를 이용하세요. 이 도구는 감소(\(1 - r\))만 다룹니다.
