지수적분 Eₙ(x)란?
일반화 지수적분 \(E_{n}(x)\)는 \(e^{-x\,t}/t^{n}\)을 t에 대해 1부터 무한대까지 적분한 값으로 정의되는 대표적인 특수함수입니다. 응용수학은 물론 물리학(특히 복사 전달과 중성자 수송)과 공학 전반에서 폭넓게 등장합니다. 여기서 n은 정수 차수, x는 실수 인수를 뜻합니다. n = 1인 경우에는 \(E_{1}(x) = -\operatorname{Ei}(-x)\) 관계를 통해 고전적인 지수적분으로 환원됩니다.
계산기 사용법
차수 n에는 0 이상의 정수(0, 1, 2, 3, …)를, 인수 x에는 실수를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 \(E_{n}(x)\)를 배정밀도(유효숫자 약 15자리)로 구해 줍니다. 이 함수는 x가 0 이상일 때만 실수값을 가집니다. n = 0 또는 n = 1인 경우에는 x가 0으로 다가갈 때 발산하므로 x가 반드시 양수여야 하며, n이 2 이상이면 x = 0에서의 값이 유한하고 \(1/(n-1)\)과 같습니다.
공식과 알고리즘
정의 적분은 다음과 같습니다.
$$E_{n}(x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x\,t}}{t^{\,n}}\,dt$$본 구현은 수치적으로 안정적인 "expint" 루틴을 따릅니다. x > 1일 때는 렌츠(Lentz) 연분수 방법을 쓰고, 0 < x ≤ 1일 때는 오일러–마스케로니 상수 \(\gamma \approx 0.5772156649\)가 포함된 수렴 멱급수를 사용합니다. 특수한 경우는 직접 처리하는데, \(E_{0}(x) = e^{-x}/x\)이고 n ≥ 2일 때 \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\)입니다.
계산 예시
기본값인 n = 2, x = 1을 살펴봅시다. x ≤ 1이므로 nm1 = 1로 멱급수를 사용합니다. 급수는 1에서 시작하며 잇따르는 항들(\(-0.4227843\), \(-0.5\), \(+0.0833333\), \(-0.0138889\), …)이 누적되어 \(E_{2}(1) \approx 0.1484955\)가 됩니다. 검산을 위해 확인하면 \(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\)이고, \(E_{1}(1) \approx 0.2193839\)입니다.
자주 묻는 질문
x가 음수면 왜 오류가 나나요? 이 함수는 x < 0에서 실수값을 갖지 않기 때문에 계산기가 정의되지 않음으로 처리합니다.
x = 0일 때는 어떻게 되나요? n ≥ 2이면 결과는 \(1/(n-1)\)이지만, n = 0 또는 n = 1이면 함수가 발산하므로 x가 양수여야 합니다.
결과는 얼마나 정확한가요? 배정밀도 연산으로 유효숫자 약 15자리를 제공하므로 일반적인 과학·공학 계산에는 충분하고도 남습니다.
