Tích phân mũ Eₙ(x) là gì?
Tích phân mũ tổng quát \(E_{n}(x)\) là một hàm đặc biệt quen thuộc, được định nghĩa bằng tích phân của \(e^{-x\cdot t}/t^{n}\) theo biến \(t\) từ 1 đến vô cùng. Hàm này xuất hiện rộng rãi trong toán ứng dụng, vật lý (đặc biệt là truyền bức xạ và truyền neutron) cũng như trong kỹ thuật. Tham số \(n\) là bậc nguyên còn \(x\) là đối số thực. Khi \(n = 1\), hàm thu gọn về tích phân mũ kinh điển qua công thức \(E_{1}(x) = -\mathrm{Ei}(-x)\).
Cách sử dụng máy tính
Nhập bậc n là một số nguyên không âm (0, 1, 2, 3, …) và đối số x là một số thực. Nhấn nút tính để nhận giá trị \(E_{n}(x)\) với độ chính xác kép (khoảng 15 chữ số có nghĩa). Hàm chỉ nhận giá trị thực khi \(x\) lớn hơn hoặc bằng 0. Với \(n = 0\) hoặc \(n = 1\), đối số \(x\) bắt buộc phải dương vì cả hai đều phân kỳ khi \(x\) tiến về 0; còn với \(n\) từ 2 trở lên, giá trị tại \(x = 0\) là hữu hạn và bằng \(1/(n-1)\).
Công thức và thuật toán
Tích phân định nghĩa là $$E_{n}(x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x\,t}}{t^{\,n}}\,dt.$$ Cách triển khai ở đây dựa trên thủ tục "expint" ổn định về mặt số học: khi \(x > 1\) thì dùng phân số liên tục theo thuật toán Lentz, còn khi \(0 < x \le 1\) thì dùng chuỗi lũy thừa hội tụ có chứa hằng số Euler–Mascheroni \(\gamma \approx 0{,}5772156649\). Các trường hợp đặc biệt được xử lý trực tiếp: \(E_{0}(x) = e^{-x}/x\) và \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\) với \(n \ge 2\).
Ví dụ minh họa
Xét giá trị mặc định \(n = 2\) và \(x = 1\). Vì \(x \le 1\) nên chuỗi lũy thừa được dùng với \(\text{nm1} = 1\). Chuỗi bắt đầu từ 1 và các số hạng liên tiếp \((-0{,}4227843,\ -0{,}5,\ +0{,}0833333,\ -0{,}0138889,\ \ldots)\) cộng dồn lại cho \(E_{2}(1) \approx 0{,}1484955\). Để kiểm tra nhanh, ta có \(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\), và \(E_{1}(1) \approx 0{,}2193839\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao máy báo lỗi khi x âm? Hàm không nhận giá trị thực khi \(x < 0\), nên máy tính đánh dấu kết quả là không xác định.
Điều gì xảy ra tại x = 0? Với \(n \ge 2\), kết quả là \(1/(n-1)\); còn với \(n = 0\) hoặc \(n = 1\), hàm phân kỳ nên \(x\) bắt buộc phải dương.
Kết quả chính xác đến mức nào? Phép tính độ chính xác kép cho khoảng 15 chữ số có nghĩa, quá đủ cho hầu hết các bài toán khoa học và kỹ thuật thông thường.
