¿Qué es la integral exponencial Eₙ(x)?
La integral exponencial generalizada \(E_{n}(x)\) es una función especial muy conocida, definida como la integral de \(e^{-x\cdot t}/t^{n}\) con respecto a \(t\) desde 1 hasta infinito. Aparece de forma recurrente en las matemáticas aplicadas, la física (especialmente en la transferencia radiativa y el transporte de neutrones) y la ingeniería. El parámetro \(n\) es el orden entero y \(x\) es el argumento real. Para \(n = 1\) se reduce a la integral exponencial clásica mediante la relación \(E_{1}(x) = -\mathrm{Ei}(-x)\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce el orden n como un número entero no negativo (0, 1, 2, 3, …) y el argumento x como un número real. Pulsa calcular para obtener \(E_{n}(x)\) en doble precisión (unas 15 cifras significativas). La función solo toma valores reales cuando \(x\) es mayor o igual que 0. Para \(n = 0\) o \(n = 1\), el argumento debe ser estrictamente positivo, ya que ambos casos divergen cuando \(x\) se acerca a 0; para \(n\) mayor o igual que 2, el valor en \(x = 0\) es finito e igual a \(1/(n-1)\).
La fórmula y el algoritmo
La integral que la define es $$E_{n}(x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x\,t}}{t^{n}}\,dt$$ Esta implementación sigue la rutina numéricamente estable «expint»: para \(x > 1\) emplea una fracción continua de Lentz, y para \(0 < x \le 1\) utiliza una serie de potencias convergente en la que interviene la constante de Euler–Mascheroni \(\gamma \approx 0{,}5772156649\). Los casos especiales se tratan de forma directa: \(E_{0}(x) = e^{-x}/x\) y \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\) para \(n \ge 2\).
Ejemplo resuelto
Tomemos los valores por defecto \(n = 2\) y \(x = 1\). Como \(x \le 1\), se utiliza la serie de potencias con \(\text{nm1} = 1\). La serie comienza en 1 y los términos sucesivos \((-0{,}4227843,\ -0{,}5,\ +0{,}0833333,\ -0{,}0138889,\ \dots)\) se acumulan hasta dar \(E_{2}(1) \approx 0{,}1484955\). Como comprobación, \(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\), y \(E_{1}(1) \approx 0{,}2193839\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué devuelve un error con x negativo? La función no toma valores reales para \(x < 0\), así que la calculadora la marca como indefinida.
¿Qué ocurre en x = 0? Para \(n \ge 2\) el resultado es \(1/(n-1)\); para \(n = 0\) o \(n = 1\) la función diverge, por lo que \(x\) debe ser positivo.
¿Qué precisión tiene el resultado? La aritmética en doble precisión ofrece aproximadamente 15 cifras significativas, más que suficiente para el trabajo científico y de ingeniería habitual.
